선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 1.2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 1.3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.5

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

단계 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

단계 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

단계 1.5.2

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

단계 1.5.3

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) ((1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - λ) (- 1 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.2

$- λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.3.2

$λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.2

$- λ$ 를 $λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

단계 1.5.4.2.1.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2) + 0$

단계 1.5.4.2.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

단계 1.5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

$0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1.1

$0$ 를 $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ 에 더합니다.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

단계 1.5.5.1.2

$(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$

단계 1.5.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 1 (λ^{2} - 3) - λ (λ^{2} - 3)$

단계 1.5.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ (λ^{2} - 3)$

단계 1.5.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.1

$- 1 λ^{2}$ 을 $- λ^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$p (λ) = - λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.3.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3.3.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.3.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} - λ \cdot - 3$

단계 1.5.5.3.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} + 3 λ$

단계 1.5.5.4

$3$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 3$

단계 1.5.5.5

$- λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3 = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(- λ^{3} - λ^{2}) + 3 λ + 3 = 0$

단계 1.7.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$λ^{2} (- λ - 1) - 3 (- λ - 1) = 0$

단계 1.7.1.2

최대공약수 $- λ - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$- λ - 1 = 0$

$λ^{2} - 3 = 0$

단계 1.7.3

$- λ - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$- λ - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- λ - 1 = 0$

단계 1.7.3.2

$- λ - 1 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- λ = 1$

단계 1.7.3.2.2

$- λ = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.2.2.1

$- λ = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 1.7.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{λ}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 1.7.3.2.2.2.2

$λ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$λ = \frac{1}{- 1}$

단계 1.7.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.2.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$λ = - 1$

단계 1.7.4

$λ^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$λ^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ^{2} - 3 = 0$

단계 1.7.4.2

$λ^{2} - 3 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$λ^{2} = 3$

단계 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

단계 1.7.4.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$λ = \sqrt{3}$

단계 1.7.4.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$λ = - \sqrt{3}$

단계 1.7.4.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 1.7.5

$(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = - 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.5

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.8

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

단계 3.2.2.9

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \sqrt{3}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- \sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

$- \sqrt{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

$- \sqrt{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

$- \sqrt{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.6

$- \sqrt{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.6.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.7

$- \sqrt{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.7.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.8

$- \sqrt{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.8.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.3.5

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.2.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = \sqrt{3}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} & \frac{1}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \sqrt{3}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

행렬의 각 원소에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.2

$\sqrt{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.3

$\sqrt{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.4

$\sqrt{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.5

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.6

$\sqrt{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.7

$\sqrt{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.8

$\sqrt{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2.9

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.3.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.3.5

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.2.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

단계 5.3

Find the null space when $λ = - \sqrt{3}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} & \frac{1}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 + \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

단계 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

단계 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

단계 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

단계 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$