선형 대수 예제

$A = [\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 1.2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 1.3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 \\ - 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 \\ - 2 & 1 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (6 - λ) (1 - λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(6 - λ) (1 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 6 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 6 \cdot 1 + 6 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 6 \cdot 1 + 6 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 + 6 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.2.2

$- 6 λ$ 에서 $λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 6 - 7 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

단계 1.5.2.1.3

$- (- 2 \cdot - 3)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.3.1

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 7 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6$

단계 1.5.2.1.3.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 6 - 7 λ + λ^{2} - 6$

단계 1.5.2.2

$6 - 7 λ + λ^{2} - 6$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 0$

단계 1.5.2.2.2

$- 7 λ + λ^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2}$

단계 1.5.2.3

$- 7 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 7 λ = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$λ^{2} - 7 λ$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$λ^{2}$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$λ \cdot λ - 7 λ = 0$

단계 1.7.1.2

$- 7 λ$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$λ \cdot λ + λ \cdot - 7 = 0$

단계 1.7.1.3

$λ \cdot λ + λ \cdot - 7$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$λ (λ - 7) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ = 0$

$λ - 7 = 0$

단계 1.7.3

$λ$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ = 0$

단계 1.7.4

$λ - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$λ - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 7 = 0$

단계 1.7.4.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$λ = 7$

단계 1.7.5

$λ (λ - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 0, 7$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 6 + 0 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.2

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.3

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{- 3}{6} & \frac{0}{6} \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에 $- 7$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

$- 7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

$- 7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 6 - 7 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$6$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & 1 - 7 \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$1$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 6 \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = 7$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & 0 \\ - 2 & - 6 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - 0 \\ - 2 & - 6 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 2 & - 6 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 6 + 2 \cdot 3 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 3 y = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 y \\ y \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]}$