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선형 대수 예제
[2132][2132]
단계 1
특성방정식 p(λ) 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
p(λ)=행렬식(A-λI2)
단계 2
크기가 2인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 2×2 정방행렬입니다.
[1001]
단계 3
단계 3.1
A에 [2132]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([2132]-λI2)
단계 3.2
I2에 [1001]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([2132]-λ[1001])
p(λ)=행렬식([2132]-λ[1001])
단계 4
단계 4.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.1.1
행렬의 각 원소에 -λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 4.1.2.1
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.2
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.2.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.2.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.3
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.3.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ00λ-λ⋅1])
단계 4.1.2.3.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ00-λ⋅1])
단계 4.1.2.4
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ00-λ])
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ00-λ])
p(λ)=행렬식([2132]+[-λ00-λ])
단계 4.2
해당하는 원소를 더합니다.
p(λ)=행렬식[2-λ1+03+02-λ]
단계 4.3
Simplify each element.
단계 4.3.1
1를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[2-λ13+02-λ]
단계 4.3.2
3를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[2-λ132-λ]
p(λ)=행렬식[2-λ132-λ]
p(λ)=행렬식[2-λ132-λ]
단계 5
단계 5.1
2×2 행렬의 행렬식은 |abcd|=ad-cb 공식을 이용해 계산합니다.
p(λ)=(2-λ)(2-λ)-3⋅1
단계 5.2
행렬식을 간단히 합니다.
단계 5.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.2.1.1
FOIL 계산법을 이용하여 (2-λ)(2-λ) 를 전개합니다.
단계 5.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=2(2-λ)-λ(2-λ)-3⋅1
단계 5.2.1.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=2⋅2+2(-λ)-λ(2-λ)-3⋅1
단계 5.2.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=2⋅2+2(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-3⋅1
p(λ)=2⋅2+2(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-3⋅1
단계 5.2.1.2
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 5.2.1.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.2.1.2.1.1
2에 2을 곱합니다.
p(λ)=4+2(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.2
-1에 2을 곱합니다.
p(λ)=4-2λ-λ⋅2-λ(-λ)-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.3
2에 -1을 곱합니다.
p(λ)=4-2λ-2λ-λ(-λ)-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
p(λ)=4-2λ-2λ-1⋅-1λ⋅λ-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.5
지수를 더하여 λ에 λ을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.1.5.1
λ를 옮깁니다.
p(λ)=4-2λ-2λ-1⋅-1(λ⋅λ)-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.5.2
λ에 λ을 곱합니다.
p(λ)=4-2λ-2λ-1⋅-1λ2-3⋅1
p(λ)=4-2λ-2λ-1⋅-1λ2-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.6
-1에 -1을 곱합니다.
p(λ)=4-2λ-2λ+1λ2-3⋅1
단계 5.2.1.2.1.7
λ2에 1을 곱합니다.
p(λ)=4-2λ-2λ+λ2-3⋅1
p(λ)=4-2λ-2λ+λ2-3⋅1
단계 5.2.1.2.2
-2λ에서 2λ을 뺍니다.
p(λ)=4-4λ+λ2-3⋅1
p(λ)=4-4λ+λ2-3⋅1
단계 5.2.1.3
-3에 1을 곱합니다.
p(λ)=4-4λ+λ2-3
p(λ)=4-4λ+λ2-3
단계 5.2.2
4에서 3을 뺍니다.
p(λ)=-4λ+λ2+1
단계 5.2.3
-4λ와 λ2을 다시 정렬합니다.
p(λ)=λ2-4λ+1
p(λ)=λ2-4λ+1
p(λ)=λ2-4λ+1
단계 6
특성다항식이 0 이 되도록 하여 고유값 λ 를 구합니다.
λ2-4λ+1=0
단계 7
단계 7.1
근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.
-b±√b2-4(ac)2a
단계 7.2
이차함수의 근의 공식에 a=1, b=-4, c=1을 대입하여 λ를 구합니다.
4±√(-4)2-4⋅(1⋅1)2⋅1
단계 7.3
간단히 합니다.
단계 7.3.1
분자를 간단히 합니다.
단계 7.3.1.1
-4를 2승 합니다.
λ=4±√16-4⋅1⋅12⋅1
단계 7.3.1.2
-4⋅1⋅1 을 곱합니다.
단계 7.3.1.2.1
-4에 1을 곱합니다.
λ=4±√16-4⋅12⋅1
단계 7.3.1.2.2
-4에 1을 곱합니다.
λ=4±√16-42⋅1
λ=4±√16-42⋅1
단계 7.3.1.3
16에서 4을 뺍니다.
λ=4±√122⋅1
단계 7.3.1.4
12을 22⋅3로 바꿔 씁니다.
단계 7.3.1.4.1
12에서 4를 인수분해합니다.
λ=4±√4(3)2⋅1
단계 7.3.1.4.2
4을 22로 바꿔 씁니다.
λ=4±√22⋅32⋅1
λ=4±√22⋅32⋅1
단계 7.3.1.5
근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
λ=4±2√32⋅1
λ=4±2√32⋅1
단계 7.3.2
2에 1을 곱합니다.
λ=4±2√32
단계 7.3.3
4±2√32을 간단히 합니다.
λ=2±√3
λ=2±√3
단계 7.4
두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.
λ=2+√3,2-√3
λ=2+√3,2-√3
단계 8
결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.
완전 형식:
λ=2+√3,2-√3
소수 형태:
λ=3.73205080…,0.26794919…