선형 대수 예제

$x + y - 2 z + 4 t = 5$ $2 x + 2 y - 3 z + t = 3$ $3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1

변수를 좌변으로 보내고 상수는 우변으로 보냅니다.

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단계 1.1

$- 2 z$ 를 옮깁니다.

$x + y + 4 t - 2 z = 5$

$2 x + 2 y - 3 z + t = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1.2

$y$ 를 옮깁니다.

$x + 4 t + y - 2 z = 5$

$2 x + 2 y - 3 z + t = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1.3

$x$ 와 $4 t$ 을 다시 정렬합니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$2 x + 2 y - 3 z + t = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1.4

$- 3 z$ 를 옮깁니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$2 x + 2 y + t - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1.5

$2 y$ 를 옮깁니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$2 x + t + 2 y - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1.6

$2 x$ 와 $t$ 을 다시 정렬합니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

단계 1.7

$- 4 z$ 를 옮깁니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 2 t - 4 z = 1$

단계 1.8

$3 y$ 를 옮깁니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$3 x - 2 t + 3 y - 4 z = 1$

단계 1.9

$3 x$ 와 $- 2 t$ 을 다시 정렬합니다.

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$- 2 t + 3 x + 3 y - 4 z = 1$

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$- 2 t + 3 x + 3 y - 4 z = 1$

단계 2

연립방정식을 행렬로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 1 & - 2 & 5 \\ 1 & 2 & 2 & - 3 & 3 \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

단계 3

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 3.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{4}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 3.1.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{4}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{- 2}{4} & \frac{5}{4} \\ 1 & 2 & 2 & - 3 & 3 \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

단계 3.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 1 & 2 & 2 & - 3 & 3 \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

단계 3.2

행연산 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.2.1

행연산 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{4} & 2 - \frac{1}{4} & - 3 + \frac{1}{2} & 3 - \frac{5}{4} \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

단계 3.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} & \frac{7}{4} \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

단계 3.3

행연산 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.3.1

행연산 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} & \frac{7}{4} \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 3 + 2 (\frac{1}{4}) & 3 + 2 (\frac{1}{4}) & - 4 + 2 (- \frac{1}{2}) & 1 + 2 (\frac{5}{4}) \end{array}]$

단계 3.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} & \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - 5 & \frac{7}{2} \end{array}]$

단계 3.4

$R_{2}$ 의 각 성분에 $\frac{4}{7}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 3.4.1

$R_{2}$ 의 각 성분에 $\frac{4}{7}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ \frac{4}{7} \cdot 0 & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{7} (- \frac{5}{2}) & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - 5 & \frac{7}{2} \end{array}]$

단계 3.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - 5 & \frac{7}{2} \end{array}]$

단계 3.5

행연산 $R_{3} = R_{3} - \frac{7}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.5.1

행연산 $R_{3} = R_{3} - \frac{7}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 - \frac{7}{2} \cdot 0 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & - 5 - \frac{7}{2} (- \frac{10}{7}) & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.6

행연산 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.6.1

행연산 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{10}{7}) & \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{7} & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4

결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$t - \frac{1}{7} z = 1$

$x + y - \frac{10}{7} z = 1$

$0 = 0$

단계 5

해는 연립방정식을 참이 되게 하는 순서쌍의 집합입니다.

$(1 + \frac{z}{7}, 1 - y + \frac{10 z}{7}, y, z)$