선형 대수 예제

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 47 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 - 5 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 159 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

단계 1

행렬의 열이 선형으로 종속되었는지 확인하려면 방정식

A x = 0

$A x = 0$ 에 자명하지 않은 해가 있는지 확인합니다.

단계 2

A x = 0

$A x = 0$ 에 대한 확대 행렬로 작성합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 6 & 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

단계 3

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

R_{1}

$R_{1}$ 의 각 성분에

- 1

$- 1$ 을 곱해서

1, 1

$1, 1$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

R_{1}

$R_{1}$ 의 각 성분에

- 1

$- 1$ 을 곱해서

1, 1

$1, 1$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.1.2

R_{1}

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.2

행연산

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ 을 수행하여

2, 1

$2, 1$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

행연산

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ 을 수행하여

2, 1

$2, 1$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.2.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

단계 3.3

행연산

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ 을 수행하여

3, 1

$3, 1$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

행연산

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ 을 수행하여

3, 1

$3, 1$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

R_{3}

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

단계 3.4

R_{2}

$R_{2}$ 의 각 성분에

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ 을 곱해서

2, 2

$2, 2$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

R_{2}

$R_{2}$ 의 각 성분에

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ 을 곱해서

2, 2

$2, 2$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

단계 3.4.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

단계 3.5

행연산

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ 을 수행하여

3, 2

$3, 2$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

행연산

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ 을 수행하여

3, 2

$3, 2$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.5.2

R_{3}

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

단계 3.6

R_{3}

$R_{3}$ 의 각 성분에

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ 을 곱해서

3, 3

$3, 3$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

R_{3}

$R_{3}$ 의 각 성분에

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ 을 곱해서

3, 3

$3, 3$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.6.2

R_{3}

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.7

행연산

R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ 을 수행하여

2, 3

$2, 3$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

행연산

R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ 을 수행하여

2, 3

$2, 3$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.7.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.8

행연산

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ 을 수행하여

$1, 3$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

행연산

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ 을 수행하여

$1, 3$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.8.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.9

행연산

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ 을 수행하여

$1, 2$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

행연산

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ 을 수행하여

$1, 2$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3.9.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 4

행렬을 선형 연립방정식으로 작성합니다.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

단계 5

$A x = 0$ 에 대한 유일한 해가 자명해이므로 벡터는 선형 독립입니다.

선형 독립