선형 대수 예제

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

단계 1

변수를 좌변으로 보내고 상수는 우변으로 보냅니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

단계 1.2

$- 2 z$ 를 옮깁니다.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

단계 1.3

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

단계 1.4

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.4.1

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

단계 1.4.2

방정식의 양변에 $z$ 를 더합니다.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

단계 1.5

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

단계 2

연립방정식을 행렬로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

단계 3

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 3.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{2}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 3.1.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{2}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

단계 3.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

단계 3.2

행연산 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.2.1

행연산 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

단계 3.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

단계 3.3

행연산 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.3.1

행연산 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 (- \frac{3}{2}) & 1 + 2 (\frac{1}{2}) & - 3 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

단계 3.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 3.4

$R_{2}$ 의 각 성분에 $\frac{2}{5}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 3.4.1

$R_{2}$ 의 각 성분에 $\frac{2}{5}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 3.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 3.5

행연산 $R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.5.1

행연산 $R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 2 + 7 \cdot - 1 & 1 + 7 (\frac{6}{5}) \end{array}]$

단계 3.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]$

단계 3.6

$R_{3}$ 의 각 성분에 $- \frac{1}{5}$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 3.6.1

$R_{3}$ 의 각 성분에 $- \frac{1}{5}$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{5} \end{array}]$

단계 3.6.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 3.7

행연산 $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.7.1

행연산 $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{6}{5} - \frac{47}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 3.7.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 3.8

행연산 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.8.1

행연산 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} (- \frac{47}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 3.8.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 3.9

행연산 $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 3.9.1

행연산 $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{147}{50} + \frac{3}{2} (- \frac{17}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 3.9.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

단계 4

결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$

단계 5

해는 연립방정식을 참이 되게 하는 순서쌍의 집합입니다.

$(\frac{48}{25}, - \frac{17}{25}, - \frac{47}{25})$