선형 대수 예제

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

단계 1

$A x = 0$ 에 대한 확대 행렬로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 2.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{2}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.1.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{2}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.2

행연산 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.2.1

행연산 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.3

행연산 $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.3.1

행연산 $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (\frac{1}{2}) & - 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.4

행연산 $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ 을 수행하여 $4, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.4.1

행연산 $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ 을 수행하여 $4, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.4.2

$R_{4}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.5

행연산 $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ 을 수행하여 $5, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.5.1

행연산 $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ 을 수행하여 $5, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

단계 2.5.2

$R_{5}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.6

$R_{2}$ 의 각 성분에 $\frac{2}{5}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.6.1

$R_{2}$ 의 각 성분에 $\frac{2}{5}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.6.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.7

행연산 $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.7.1

행연산 $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & - 6 + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.7.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.8

행연산 $R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $4, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.8.1

행연산 $R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $4, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.8.2

$R_{4}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.9

행연산 $R_{5} = R_{5} - R_{2}$ 을 수행하여 $5, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.9.1

행연산 $R_{5} = R_{5} - R_{2}$ 을 수행하여 $5, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

단계 2.9.2

$R_{5}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

단계 2.10

$R_{3}$ 의 각 성분에 $- \frac{1}{4}$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.10.1

$R_{3}$ 의 각 성분에 $- \frac{1}{4}$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

단계 2.10.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

단계 2.11

행연산 $R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ 을 수행하여 $4, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

행연산 $R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ 을 수행하여 $4, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

단계 2.11.2

$R_{4}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

단계 2.12

행연산 $R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ 을 수행하여 $5, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

행연산 $R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ 을 수행하여 $5, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

단계 2.12.2

$R_{5}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 2.13

행연산 $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.13.1

행연산 $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 2.13.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 2.14

행연산 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.14.1

행연산 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 2.14.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 2.15

행연산 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.15.1

행연산 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 2.15.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3

결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

단계 4

각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

단계 5

해 집합으로 작성합니다.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$