선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 1

행렬식을 구합니다.

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단계 1.1

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다. $0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 열 $2$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

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단계 1.1.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.1.2

지수가 사인 차트에서 $-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 1.1.3

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.4

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.5

$a_{22}$ 의 소행렬식은 행 $2$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.6

$a_{22}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.7

$a_{32}$ 의 소행렬식은 행 $3$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.1.8

$a_{32}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.1.9

항을 함께 더합니다.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.2

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 을 곱합니다.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.3

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ 을 곱합니다.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

단계 1.4

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

단계 1.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1.1

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

단계 1.4.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

단계 1.4.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

단계 1.5

행렬식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 0 + 0$

단계 1.5.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 + 0$

단계 1.5.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2

행렬식이 0이 아니므로 역이 존재합니다.

단계 3

왼쪽 절반은 원래 행렬이고 오른쪽 절반은 항등행렬인 $3 \times 6$ 행렬을 설정합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 4.1

$R_{2}$ 에 $R_{1}$ 을 대입해서 $1, 1$ 에서 0이 아닌 항목을 넣습니다.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{6}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 4.2.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{6}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.3

행연산 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 4.3.1

행연산 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

단계 4.4

$R_{2}$ 의 각 성분에 $- 1$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 4.4.1

$R_{2}$ 의 각 성분에 $- 1$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

단계 4.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

단계 4.5

$R_{3}$ 의 각 성분에 $3$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 4.5.1

$R_{3}$ 의 각 성분에 $3$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.6

행연산 $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 4.6.1

행연산 $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.6.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.7

행연산 $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 4.7.1

행연산 $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.7.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 5

기약 행 사다리꼴의 오른쪽 절반은 역입니다.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$