선형 대수 예제

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 1

행렬식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

0

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다.

0

$0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 열

2

$2$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.1.2

지수가 사인 차트에서

-

$-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 1.1.3

a_{12}

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행

1

$1$ 와 열

2

$2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.4

a_{12}

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.5

a_{22}

$a_{22}$ 의 소행렬식은 행

2

$2$ 와 열

2

$2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.6

a_{22}

$a_{22}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

단계 1.1.7

a_{32}

$a_{32}$ 의 소행렬식은 행

3

$3$ 와 열

2

$2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.1.8

a_{32}

$a_{32}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.1.9

항을 함께 더합니다.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.2

0

$0$ 에

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 을 곱합니다.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

단계 1.3

0

$0$ 에

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ 을 곱합니다.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

단계 1.4

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

단계 1.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

6

$6$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

단계 1.4.2.1.2

- 1

$- 1$ 에

- 2

$- 2$ 을 곱합니다.

1 (0 + 2) + 0 + 0

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

1 (0 + 2) + 0 + 0

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

단계 1.4.2.2

0

$0$ 를

2

$2$ 에 더합니다.

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

단계 1.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

2

$2$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

2 + 0 + 0

$2 + 0 + 0$

단계 1.5.2

2

$2$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

2 + 0

$2 + 0$

단계 1.5.3

2

$2$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

2

$2$

2

$2$

2

$2$

단계 2

행렬식이 0이 아니므로 역이 존재합니다.

단계 3

왼쪽 절반은 원래 행렬이고 오른쪽 절반은 항등행렬인

3 \times 6

$3 \times 6$ 행렬을 설정합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

R_{2}

$R_{2}$ 에

R_{1}

$R_{1}$ 을 대입해서

1, 1

$1, 1$ 에서 0이 아닌 항목을 넣습니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2

R_{1}

$R_{1}$ 의 각 성분에

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ 을 곱해서

1, 1

$1, 1$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

R_{1}

$R_{1}$ 의 각 성분에

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ 을 곱해서

1, 1

$1, 1$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.2

R_{1}

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.3

행연산

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 을 수행하여

$3, 1$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

행연산

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 을 수행하여

$3, 1$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

단계 4.4

$R_{2}$ 의 각 성분에

$- 1$ 을 곱해서

$2, 2$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$R_{2}$ 의 각 성분에

$- 1$ 을 곱해서

$2, 2$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

단계 4.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

단계 4.5

$R_{3}$ 의 각 성분에

$3$ 을 곱해서

$3, 3$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$R_{3}$ 의 각 성분에

$3$ 을 곱해서

$3, 3$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.6

행연산

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ 을 수행하여

$2, 3$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

행연산

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ 을 수행하여

$2, 3$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.6.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.7

행연산

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 을 수행하여

$1, 3$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

행연산

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 을 수행하여

$1, 3$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 4.7.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

단계 5

기약 행 사다리꼴의 오른쪽 절반은 역입니다.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$