유한 수학 예제

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

단계 2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

인수가 항 $x \cdot 2$ 과(와) $- 2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.3.1.2

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.3.1.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.1.3.2.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

단계 2.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \log (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

단계 2.3

방정식의 등호가 성립하려면 방정식의 두 변에 있는 로그의 진수가 동일해야 합니다.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

단계 2.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

다시 씁니다.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

단계 2.4.1.2

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

단계 2.4.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

단계 2.4.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

단계 2.4.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 2.4.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 2.4.1.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 2.4.1.4.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 2.4.1.4.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

단계 2.4.1.4.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

단계 2.4.1.4.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

단계 2.4.2

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

단계 2.4.3

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

단계 2.4.3.2

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

단계 2.4.3.2.2

$- 2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x + 1 = - 4$

단계 2.4.4

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 x = - 4 - 1$

단계 2.4.4.2

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 2 x = - 5$

단계 2.4.5

$- 2 x = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1

$- 2 x = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 2.4.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 2.4.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{- 2}$

단계 2.4.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 3

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 3.2.3

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 3.2.4

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.2.5

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3.2.6

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

단계 3.2.7

해를 하나로 합합니다.

$x = - 2, 2, 1$

단계 3.2.8

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.2.8.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.2.8.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3.2.8.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

단계 3.2.9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

단계 3.2.10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 3.2.10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.1.3

좌변 $0.48$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.2.10.2

$- 2 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.2.1

$- 2 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 3.2.10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.2.3

좌변 $- 4$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.2.10.3

$1 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.3.1

$1 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.5$

단계 3.2.10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.5$ 로 치환합니다.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.3.3

좌변 $- 7$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.2.10.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 3.2.10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.4.3

좌변 $1.\overline{3}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.2.10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 3.2.11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 2$ 또는 $x > 2$

단계 3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

단계 4

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x > \frac{5}{2}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x > \frac{5}{2}$

구간 표기:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

단계 6