유한 수학 예제

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

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단계 1.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ 이고 합이 $b = - 11$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.1.1.1

$- 11 x$ 에서 $- 11$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 (x) - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1.1.1.2

$- 11$ 를 $4$ + $- 15$ 로 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + (4 - 15) x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 13}{x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1.1.3

최대공약수 $3 x + 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$(3 x + 4) (x - 5), x - 5, 3 x + 4$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$3 x + 4$ 의 인수는 $3 x + 4$ 자신입니다.

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$x - 5$ 의 인수는 $x - 5$ 자신입니다.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$3 x + 4$ 의 인수는 $3 x + 4$ 자신입니다.

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$3 x + 4, x - 5, x - 5, 3 x + 4$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(3 x + 4) (x - 5)$

단계 3

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ 의 각 항에 $(3 x + 4) (x - 5)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 3.1

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ 의 각 항에 $(3 x + 4) (x - 5)$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$(3 x + 4) (x - 5)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 13 - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.2

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.2.1

$- \frac{2}{x - 5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.2.2

$(3 x + 4) (x - 5)$ 에서 $x - 5$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x + 4) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x) - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.4

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 13 - 6 x - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.1.5

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 13 - 6 x - 8 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.2.2

$13$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$3 x + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 (x - 5)$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x + 2 \cdot - 5$

단계 3.3.3

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x - 10$

단계 4

식을 풉니다.

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단계 4.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 4.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 6 x + 5 - 2 x = - 10$

단계 4.1.2

$- 6 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 8 x + 5 = - 10$

단계 4.2

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$x^{2} - 8 x + 5 + 10 = 0$

단계 4.3

$5$ 를 $10$ 에 더합니다.

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

단계 4.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 x + 15$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $15$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 5, - 3$

단계 4.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 5) (x - 3) = 0$

단계 4.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4.6

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.6.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 4.7

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.7.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 4.7.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 4.8

$(x - 5) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, 3$

단계 5

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 3$