유한 수학 예제

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

단계 1

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

단계 3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

단계 3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{y}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

단계 3.3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

단계 3.3.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

단계 3.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

단계 3.3.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.6.1

$- \frac{e^{y}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

단계 3.3.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

단계 3.3.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$5 - e^{y} = 2 x$

단계 3.4

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$- e^{y} = 2 x - 5$

단계 3.5

$- e^{y} = 2 x - 5$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- e^{y} = 2 x - 5$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

단계 3.5.2.2

$e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$\frac{2 x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

단계 3.5.3.1.2

$- 1 \cdot (2 x)$ 을 $- (2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

단계 3.5.3.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

단계 3.5.3.1.4

$- 5$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$e^{y} = - 2 x + 5$

단계 3.6

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

단계 3.7

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

단계 3.7.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

단계 3.7.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (- 2 x + 5)$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ 가 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

단계 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.5.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.5.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.6

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.7.1

$- \frac{e^{x}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

단계 5.2.3.7.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.7.3

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

단계 5.2.3.7.4

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

단계 5.2.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

단계 5.2.3.9

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

단계 5.2.4

$- 5 + e^{x} + 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

단계 5.2.4.2

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.5

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

단계 5.2.6

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

단계 5.2.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (- 2 x + 5))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

단계 5.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

단계 5.3.3.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

단계 5.3.3.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

단계 5.3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$5 + 2 x - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

단계 5.3.4.1.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

단계 5.3.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

단계 5.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

단계 5.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ 은 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$