유한 수학 예제

2 x^{2} - 12 x + 3

$2 x^{2} - 12 x + 3$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

단계 2.2

방정식의 양변에서

$x$ 를 뺍니다.

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

단계 2.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4

이차함수의 근의 공식에

$a = 2$ ,

$b = - 12$ ,

$c = 3 - x$ 을 대입하여

$y$ 를 구합니다.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 12$ 를

$2$ 승 합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.2

$- 4$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.4

$- 8$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.5

$- 1$ 에

$- 8$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.6

$144$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.7

$120 + 8 x$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.7.1

$120$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.7.2

$8 \cdot 15 + 8 x$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.8

$8 (15 + x)$ 을

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.8.1

$8$ 에서

$4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.8.2

$4$ 을

$2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.2

$2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

단계 2.5.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 2.6

수식을 간단히 하여

$\pm$ 의

$+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$- 12$ 를

$2$ 승 합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.2

$- 4$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.4

$- 8$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.5

$- 1$ 에

$- 8$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.6

$144$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.7

$120 + 8 x$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.7.1

$120$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.7.2

$8 \cdot 15 + 8 x$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.8

$8 (15 + x)$ 을

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.8.1

$8$ 에서

$4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.8.2

$4$ 을

$2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.6.2

$2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

단계 2.6.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 2.6.4

$\pm$ 을

$+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 2.7

수식을 간단히 하여

$\pm$ 의

$-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

$- 12$ 를

$2$ 승 합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.2

$- 4$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.4

$- 8$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.5

$- 1$ 에

$- 8$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.6

$144$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.7

$120 + 8 x$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.7.1

$120$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.7.2

$8 \cdot 15 + 8 x$ 에서

$8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.8

$8 (15 + x)$ 을

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.8.1

$8$ 에서

$4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.8.2

$4$ 을

$2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

단계 2.7.2

$2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

단계 2.7.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 2.7.4

$\pm$ 을

$-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 2.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 4

증명하려면

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 가

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다.

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 및

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 4.2

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

치역은 모든 유효한

$y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 15, \infty)$

단계 4.3

$\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면

$\sqrt{2 (15 + x)}$ 의 피개법수를

$0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 (15 + x) \geq 0$

단계 4.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$2 (15 + x) \geq 0$ 의 각 항을

$2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$2 (15 + x) \geq 0$ 의 각 항을

$2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

단계 4.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

단계 4.3.2.1.2.1.2

$15 + x$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

단계 4.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

$0$ 을

$2$ 로 나눕니다.

$15 + x \geq 0$

단계 4.3.2.2

부등식의 양변에서

$15$ 를 뺍니다.

$x \geq - 15$

단계 4.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한

$x$ 값입니다.

$[- 15, \infty)$

단계 4.4

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4.5

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 의 정의역이

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 의 치역이고

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 의 치역이

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 의 정의역이므로

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 은

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

단계 5