유한 수학 예제

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

단계 1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.4

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.5

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.6

$- 4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 + 3 + 9$

단계 1.3.8

$- 12$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 9 + 9$

단계 1.3.9

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

단계 1.5

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

단계 1.5.2

피제수 $- 4 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

단계 1.5.7

피제수 $- 12 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 12 x^{2} + 12 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

단계 1.5.12

피제수 $- 9 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 x + 9$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

단계 1.6

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

단계 2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ 이고 합이 $b = - 12$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1.1

$- 12 x$ 에서 $- 12$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

단계 2.1.1.2

$- 12$ 를 $- 6$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

단계 2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

단계 2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

단계 2.1.3

최대공약수 $- 2 x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

단계 2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$