유한 수학 예제

$54 + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$54 + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18) + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

단계 1.1.2

$27 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18) + 3 (9 x) - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

단계 1.1.3

$- 15 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18) + 3 (9 x) + 3 (- 5 x^{2}) - 6 x^{3} = 0$

단계 1.1.4

$- 6 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18) + 3 (9 x) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

단계 1.1.5

$3 (18) + 3 (9 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18 + 9 x) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

단계 1.1.6

$3 (18 + 9 x) + 3 (- 5 x^{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

단계 1.1.7

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2} - 2 x^{3}) = 0$

단계 1.2

항을 다시 정렬합니다.

$3 (- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18) = 0$

단계 1.3

인수분해합니다.

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단계 1.3.1

유리근 정리르 이용하여 $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

단계 1.3.1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.3.1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

단계 1.3.1.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

단계 1.3.1.3.3

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 16 - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

단계 1.3.1.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 16 - 5 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 18$

단계 1.3.1.3.5

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 - 20 + 9 \cdot 2 + 18$

단계 1.3.1.3.6

$- 16$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$- 36 + 9 \cdot 2 + 18$

단계 1.3.1.3.7

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 36 + 18 + 18$

단계 1.3.1.3.8

$- 36$ 를 $18$ 에 더합니다.

$- 18 + 18$

단계 1.3.1.3.9

$- 18$ 를 $18$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.3.1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18}{x - 2}$

단계 1.3.1.5

$- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

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단계 1.3.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$18$

단계 1.3.1.5.2

피제수 $- 2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$

단계 1.3.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 1.3.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 1.3.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

단계 1.3.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

단계 1.3.1.5.7

피제수 $- 9 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

단계 1.3.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$18 x$

단계 1.3.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 x^{2} + 18 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$

단계 1.3.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$

단계 1.3.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

단계 1.3.1.5.12

피제수 $- 9 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

단계 1.3.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

단계 1.3.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 x + 18$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

단계 1.3.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$
										$0$

단계 1.3.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$

단계 1.3.1.6

$- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$3 ((x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9)) = 0$

단계 1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

단계 1.4

인수분해합니다.

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단계 1.4.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 2 \cdot - 9 = 18$ 이고 합이 $b = - 9$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.4.1.1.1

$- 9 x$ 에서 $- 9$ 를 인수분해합니다.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

단계 1.4.1.1.2

$- 9$ 를 $- 3$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 - 6) x - 9) = 0$

단계 1.4.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6 x - 9) = 0$

단계 1.4.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.4.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$3 (x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) - 6 x - 9) = 0$

단계 1.4.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$3 (x - 2) (x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3)) = 0$

단계 1.4.1.3

최대공약수 $- 2 x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$3 (x - 2) ((- 2 x - 3) (x + 3)) = 0$

단계 1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 (x - 2) (- 2 x - 3) (x + 3) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$- 2 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

단계 3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4

$- 2 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 2 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 2 x - 3 = 0$

단계 4.2

$- 2 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$- 2 x = 3$

단계 4.2.2

$- 2 x = 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 2 x = 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{3}{- 2}$

단계 4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{3}{- 2}$

단계 4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{- 2}$

단계 4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3}{2}$

단계 5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6

$3 (x - 2) (- 2 x - 3) (x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - \frac{3}{2}, - 3$

단계 7