유한 수학 예제

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

단계 1

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.2

$- 3 x^{3} + 3 x$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 3 x^{3}$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.2.2

$3 x$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

단계 2.1.6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

단계 2.1.7

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 5 u + 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $4$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 4, - 1$

단계 2.1.7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

단계 2.1.8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.1.9

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.1.10

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.1.11

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 2.1.12

인수분해합니다.

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단계 2.1.12.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 2.1.12.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 2.1.13

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.13.1

$- 3 x (x + 1) (x - 1)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 2.1.13.2

$(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 2.1.13.3

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 2.1.14

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

단계 2.1.14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

단계 2.1.14.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 2.1.15

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.1.15.1

인수가 항 $x \cdot - 2$ 과(와) $2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 2.1.15.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 2.1.15.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 2.1.16

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.16.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 2.1.16.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

단계 2.1.17

항을 다시 정렬합니다.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

단계 2.1.18

인수분해합니다.

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단계 2.1.18.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.18.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1$

단계 2.1.18.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

단계 2.1.18.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

단계 2.1.19

지수를 묶습니다.

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단계 2.1.19.1

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

단계 2.1.19.2

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

단계 2.1.19.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

단계 2.1.19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 2.3

${(x + 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

${(x + 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 1)}^{2} = 0$

단계 2.3.2

${(x + 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.6

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1, 4$

단계 3