유한 수학 예제

$\frac{7}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{7}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

단계 1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 4, - 3$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

단계 1.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 4, 3$

단계 1.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

단계 2

공통분모를 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

단계 2.2

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

단계 2.3

$\frac{6}{(x - 4) (x - 3)}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

단계 2.4

$\frac{6}{(x - 4) (x - 3)}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

단계 2.5

$\frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - (\frac{5}{(x - 4) (x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

단계 2.6

$\frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 4) (x + 3) (x - 3)}$

단계 2.7

$(x - 4) (x - 3) (x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 4) (x + 3) (x - 3)}$

단계 2.8

$(x - 4) (x + 3) (x - 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} - \frac{5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 (x - 4) + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 4 + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 4.2

$7$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 28 + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 6 \cdot 3 - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 4.4

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 x - 5 \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 4.6

$- 5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 x + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 5

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$7 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{13 x - 28 + 18 - 5 x + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 5.2

$13 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x - 28 + 18 + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 5.3

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 28$ 를 $18$ 에 더합니다.

$\frac{8 x - 10 + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

단계 5.3.2

$- 10$ 를 $15$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 5}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$