유한 수학 예제

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

단계 2.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

단계 2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

단계 2.1.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 1$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

단계 2.1.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

단계 2.1.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.2.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

단계 2.1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

단계 2.2

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

단계 2.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 2.6.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 2.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.7.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.7.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 2.7.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.10

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.11

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 1}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 2.11.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 2.12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 2.13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1.1

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 2.13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

단계 2.13.1.3

좌변 $- 3.\overline{6}$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.13.2

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.31$

단계 2.13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.31$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

단계 2.13.2.3

좌변 $1.91580645$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.13.3

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.3.1

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 2.13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

단계 2.13.3.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.13.4

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.4.1

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 2.13.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

단계 2.13.4.3

좌변 $2.75$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.13.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 거짓

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 참

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 거짓

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 참

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 거짓

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 참

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 거짓

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 참

단계 2.14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 또는 $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 1}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

단계 5