유한 수학 예제

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

단계 2

$p$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$4 p^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

단계 2.2.1.2

$16 p^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

단계 2.2.1.3

$28 p$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

단계 2.2.1.4

$- 48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

단계 2.2.1.5

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

단계 2.2.1.6

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

단계 2.2.1.7

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

유리근 정리르 이용하여 $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

단계 2.2.2.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

단계 2.2.2.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

단계 2.2.2.1.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

단계 2.2.2.1.3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

단계 2.2.2.1.3.5

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

단계 2.2.2.1.3.6

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + 7 - 12$

단계 2.2.2.1.3.7

$5$ 를 $7$ 에 더합니다.

$12 - 12$

단계 2.2.2.1.3.8

$12$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.2.2.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $p - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

단계 2.2.2.1.5

$p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ 을 $p - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

단계 2.2.2.1.5.2

피제수 $p^{3}$ 의 고차항을 제수 $p$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

단계 2.2.2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

단계 2.2.2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $p^{3} - p^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

단계 2.2.2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

단계 2.2.2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

단계 2.2.2.1.5.7

피제수 $5 p^{2}$ 의 고차항을 제수 $p$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

단계 2.2.2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

단계 2.2.2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 p^{2} - 5 p$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

단계 2.2.2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

단계 2.2.2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

단계 2.2.2.1.5.12

피제수 $12 p$ 의 고차항을 제수 $p$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

단계 2.2.2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

단계 2.2.2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $12 p - 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

단계 2.2.2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

단계 2.2.2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$p^{2} + 5 p + 12$

단계 2.2.2.1.6

$p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

단계 2.4

$p - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $p$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$p - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$p - 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$p = 1$

단계 2.5

$p^{2} + 5 p + 12$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $p$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$p^{2} + 5 p + 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

단계 2.5.2

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$ 을 $p$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.5.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 12$ 을 대입하여 $p$ 를 구합니다.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.1.3

$25$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.1.3

$25$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.4.4

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.4.5

$i \sqrt{23}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.5.2.4.6

$- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.5.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.1.3

$25$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.5.4

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.5.5

$- i \sqrt{23}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.5.2.5.6

$- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.5.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.6

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.7

최고차항 계수를 알아냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

다항식의 선행항은 차수가 가장 높은 항입니다.

$4 p^{3}$

단계 2.7.2

다항식에서 선행계수는 선행항의 계수입니다.

$4$

단계 2.8

x절편이 실수가 아니고 최고차항 계수가 양수이므로 포물선은 위로 열리며 $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ 은 항상 $0$ 보다 큽니다.

모든 실수

단계 3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${p | p \in ℝ}$

단계 4