유한 수학 예제

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

단계 1

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

단계 2

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

단계 2.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 4, - 3$

단계 2.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

단계 3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$(x - 4) (x - 3), 1$

단계 3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$(x - 4) (x - 3)$

단계 4

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ 의 각 항에 $(x - 4) (x - 3)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ 의 각 항에 $(x - 4) (x - 3)$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$(x - 4) (x - 3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.2.3.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

단계 4.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

단계 4.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

단계 4.3.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

단계 4.3.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

단계 4.3.2.1.3

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

단계 4.3.2.2

$- 3 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

단계 4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

단계 4.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

단계 4.3.4.2

$y$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

단계 5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

단계 5.3

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

단계 5.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5.5

이차함수의 근의 공식에 $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ , $c = 12 y + 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$- 7 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.2

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.4

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.6.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.1.3

$- 4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.1.5

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.1.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.6.2

$- 4 y$ 를 $48 y$ 에 더합니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

단계 5.6.7

$49 y^{2}$ 에서 $48 y^{2}$ 을 뺍니다.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

단계 5.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$