유한 수학 예제

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $128$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

단계 1.2

$2 x^{2} - 24 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 12}{2}$

단계 1.2.3.2.2

$- 12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 6}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 6$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 24$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{576}{8}$

단계 1.2.4.2.1.3

$576$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 72$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $72$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 72$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$e = - 72$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ 에 대입합니다.

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

단계 1.3

$2 x^{2} - 24 x$ 를 $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ 로 바꿔 방정식 $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ 에 대입합니다.

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

단계 1.4

양변에 $72$ 을 더하여 $- 72$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

단계 1.5

$4 y^{2} + 32 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$32$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{16}{4}$

단계 1.5.3.2.2

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{4}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 4$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

단계 1.5.4.2.1.3

$1024$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 64$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 64$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$e = - 64$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ 에 대입합니다.

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

단계 1.6

$4 y^{2} + 32 y$ 를 $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ 로 바꿔 방정식 $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ 에 대입합니다.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

단계 1.7

양변에 $64$ 을 더하여 $- 64$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

단계 1.8

$- 128 + 72 + 64$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$- 128$ 를 $72$ 에 더합니다.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

단계 1.8.2

$- 56$ 를 $64$ 에 더합니다.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

단계 1.9

각 항을 $8$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(6, - 4)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sqrt{4 - 2}$

단계 5.3.3.2

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\sqrt{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(6 + 2, - 4)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(8, - 4)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(6 - (2), - 4)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(4, - 4)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

단계 7.3

타원의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

단계 7.5

간단히 합니다.

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

단계 7.6

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

단계 8.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

단계 8.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

단계 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

단계 8.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

단계 8.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

단계 8.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

단계 8.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

단계 8.3.4

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

이심률: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 10