유한 수학 예제

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

단계 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

단계 2.1.2

$- 8 x^{3} + 24 x$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 8 x^{3}$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

단계 2.1.2.2

$24 x$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

단계 2.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

단계 2.1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

단계 2.1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 12 u - 45$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 45$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$- 3, 15$

단계 2.1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

단계 2.1.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

단계 2.1.7

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ 에서 $x^{2} - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.7.1

$- 8 x (x^{2} - 3)$ 에서 $x^{2} - 3$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

단계 2.1.7.2

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ 에서 $x^{2} - 3$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

단계 2.1.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

단계 2.1.9

AC 방법을 이용하여 $- 8 u + u^{2} + 15$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $15$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 5, - 3$

단계 2.1.9.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

단계 2.1.10

인수분해합니다.

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단계 2.1.10.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

단계 2.1.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.3

$x^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 2.3.2

$x^{2} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 2.3.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.3.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 2.3.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 2.3.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 2.4

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.6

최종 해는 $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 5$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 3$ ( $1$ 의 중복도)

$x = \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 5$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 3$ ( $1$ 의 중복도)

단계 3