유한 수학 예제

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} = 11$

단계 1

방정식의 양변에서 $11$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x - 3, x - 9, 1, 1$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$x - 3$ 의 인수는 $x - 3$ 자신입니다.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$x - 9$ 의 인수는 $x - 9$ 자신입니다.

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$x - 3, x - 9$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x - 3) (x - 9)$

단계 3

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ 의 각 항에 $(x - 3) (x - 9)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ 의 각 항에 $(x - 3) (x - 9)$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x - 9 - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.2

$x - 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$- \frac{1}{x - 9}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.2.2

$(x - 3) (x - 9)$ 에서 $x - 9$ 를 인수분해합니다.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x - 9 - (x - 3) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 9 - x - - 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (x - 9)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x (x - 9) - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.6.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.6.1.3

$- 3$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.6.2

$- 9 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 12 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} - 11 (- 12 x) - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.8.1

$- 12$ 에 $- 11$ 을 곱합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.1.8.2

$- 11$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$0 - 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.2.1.2

$0$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$- 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$- 9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 6 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.2.2.2.2

$- 6$ 에서 $297$ 을 뺍니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (x - 9)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x (x - 9) - 3 (x - 9))$

단계 3.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9))$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

단계 3.3.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

단계 3.3.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9)$

단계 3.3.2.1.3

$- 3$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27)$

단계 3.3.2.2

$- 9 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 12 x + 27)$

단계 3.3.3

$0$ 에 $x^{2} - 12 x + 27$ 을 곱합니다.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.2

이차함수의 근의 공식에 $a = - 11$ , $b = 132$ , $c = - 303$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 132 \pm \sqrt{132^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 303)}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$132$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 4 \cdot - 11 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.1.2

$- 4 \cdot - 11 \cdot - 303$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

$- 4$ 에 $- 11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 + 44 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.1.2.2

$44$ 에 $- 303$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 13332}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.1.3

$17424$ 에서 $13332$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4092}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.1.4

$4092$ 을 $2^{2} \cdot 1023$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.4.1

$4092$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4 (1023)}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1023}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{2 \cdot - 11}$

단계 4.3.2

$2$ 에 $- 11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$

단계 4.3.3

$\frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

단계 4.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{66 + \sqrt{1023}}{11}, \frac{66 - \sqrt{1023}}{11}$

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

소수 형태:

$x = 8.90767010 \dots, 3.09232989 \dots$