유한 수학 예제

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

단계 1.3

$0.\overline{3}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.\overline{3}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$0.\overline{3}$ 을 다항식에 대입합니다.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{4} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.2

$0.\overline{3}$ 를 $4$ 승 합니다.

$3 \cdot 0.01234567 - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.3

$3$ 에 $0.01234567$ 을 곱합니다.

$0.\overline{037} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.4

$0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$0.\overline{037} - 37 \cdot 0.\overline{037} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.5

$- 37$ 에 $0.\overline{037}$ 을 곱합니다.

$0.\overline{037} - 1.37037037 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.6

$0.\overline{037}$ 에서 $1.37037037$ 을 뺍니다.

$- 1.33333333 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.7

$0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1.33333333 + 111 \cdot 0.\overline{1} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.8

$111$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$- 1.33333333 + 12.33333333 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.9

$- 1.33333333$ 를 $12.33333333$ 에 더합니다.

$11 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

단계 1.3.10

$- 45$ 에 $0.\overline{3}$ 을 곱합니다.

$11 - 15 + 4$

단계 1.3.11

$11$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$- 4 + 4$

단계 1.3.12

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$0.\overline{3}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $3 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4}{3 x - 1}$

단계 1.5

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ 을 $3 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

단계 1.5.2

피제수 $3 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{4} - x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

단계 1.5.7

피제수 $- 36 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

단계 1.5.12

피제수 $99 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $99 x^{2} - 33 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

단계 1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

단계 1.5.17

피제수 $- 12 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

단계 1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

단계 1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 12 x + 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

단계 1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

$0$

단계 1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$

단계 1.6

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(3 x - 1) (x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4)$

단계 2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 2.1.3

$4$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $4$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$4$ 을 다항식에 대입합니다.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

단계 2.1.3.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

단계 2.1.3.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 - 12 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 4$

단계 2.1.3.4

$- 12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$64 - 192 + 33 \cdot 4 - 4$

단계 2.1.3.5

$64$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$- 128 + 33 \cdot 4 - 4$

단계 2.1.3.6

$33$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 128 + 132 - 4$

단계 2.1.3.7

$- 128$ 를 $132$ 에 더합니다.

$4 - 4$

단계 2.1.3.8

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.4

$4$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4}{x - 4}$

단계 2.1.5

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ 을 $x - 4$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

단계 2.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$

단계 2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

단계 2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

단계 2.1.5.7

피제수 $- 8 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

단계 2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

단계 2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 8 x^{2} + 32 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

단계 2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$

단계 2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

단계 2.1.5.12

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

단계 2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							+	$x$	-	$4$

단계 2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$

단계 2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$
										$0$

단계 2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 8 x + 1$

단계 2.1.6

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(3 x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 1))$

단계 2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(3 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 8 x + 1)$