유한 수학 예제

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

단계 3

$- 0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

단계 3.2

$- 0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot - 0.125 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

단계 3.3

$2$ 에 $- 0.125$ 을 곱합니다.

$- 0.25 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

단계 3.4

$- 0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 0.25 - 5 \cdot 0.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

단계 3.5

$- 5$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$- 0.25 - 1.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

단계 3.6

$- 0.25$ 에서 $1.25$ 을 뺍니다.

$- 1.5 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

단계 3.7

$- 15$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$- 1.5 + 7.5 - 6$

단계 3.8

$- 1.5$ 를 $7.5$ 에 더합니다.

$6 - 6$

단계 3.9

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 4

$- 0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6}{2 x + 1}$

단계 5

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ 을 $2 x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$15 x$

$6$

단계 5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

단계 5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

단계 5.7

피제수 $- 6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

단계 5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

단계 5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 x^{2} - 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

단계 5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

단계 5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

단계 5.12

피제수 $- 12 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

단계 5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

단계 5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 12 x - 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

단계 5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

단계 5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 3 x - 6$

단계 6

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x + 1) (x^{2} - 3 x - 6)$