유한 수학 예제

$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

단계 1

식 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 7, x = 2$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 7$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 7$ 이므로 $x = - 7$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 7$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $2$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $2$ 이므로 $x = 2$ 는 수직점근선입니다.

$x = 2$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 7, 2$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 4$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x - 14$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 14$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$- 2, 7$

단계 8.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x^{4} + 1}{(x - 2) (x + 7)}$

단계 8.2

$(x - 2) (x + 7)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x (x + 7) - 2 (x + 7)}$

단계 8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 (x + 7)}$

단계 8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 x - 2 \cdot 7}$

단계 8.2.4

$x$ 와 $7$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

단계 8.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

단계 8.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

단계 8.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{1 + 1} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

단계 8.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

단계 8.2.9

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 14}$

단계 8.2.10

$7 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

단계 8.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 8.4

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 8.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

단계 8.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

단계 8.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

단계 8.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

단계 8.9

피제수 $- 5 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

단계 8.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

단계 8.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 5 x^{3} - 25 x^{2} + 70 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

단계 8.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

단계 8.13

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

단계 8.14

피제수 $39 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

단계 8.15

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

단계 8.16

식을 피제수에서 빼야 하므로 $39 x^{2} + 195 x - 546$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

단계 8.17

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

$265 x$

$547$

단계 8.18

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x^{2} - 5 x + 39 + \frac{- 265 x + 547}{x^{2} + 5 x - 14}$

단계 8.19

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x^{2} - 5 x + 39$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 7, 2$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x^{2} - 5 x + 39$

단계 10