유한 수학 예제

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

단계 1

FOIL 계산법을 이용하여 $(k + 1) (k + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

단계 1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

단계 2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

단계 2.1.2

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

단계 2.1.3

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

단계 2.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

단계 2.2

$k$ 를 $k$ 에 더합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $k^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

단계 4

$k^{2}$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

단계 6

항을 다시 정렬합니다.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

단계 7

각 항에서 $\frac{1}{6}$ 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 8

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 9

$k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 10

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 11

FOIL 계산법을 이용하여 $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.2

지수를 더하여 $k^{2}$ 에 $k$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

$k$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.2.2

$k$ 에 $k^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.2.1

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.3

$k^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.5

지수를 더하여 $k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.5.1

$k$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.5.2

$k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.1.6

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 12.2

$k^{2}$ 를 $2 k^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

단계 13

$k^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

단계 14

$12 k$ 를 $k$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

단계 15

$3 k^{2}$ 를 $6 k^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

단계 16

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

인수분해된 형태로 $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

유리근 정리르 이용하여 $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 16.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

단계 16.1.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

단계 16.1.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

단계 16.1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

단계 16.1.1.3.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

단계 16.1.1.3.5

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

단계 16.1.1.3.6

$- 2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

단계 16.1.1.3.7

$13$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$7 - 13 + 6$

단계 16.1.1.3.8

$7$ 에서 $13$ 을 뺍니다.

$- 6 + 6$

단계 16.1.1.3.9

$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$0$

단계 16.1.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $k + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

단계 16.1.1.5

$2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 을 $k + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

단계 16.1.1.5.2

피제수 $2 k^{3}$ 의 고차항을 제수 $k$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

단계 16.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

단계 16.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 k^{3} + 2 k^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

단계 16.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

단계 16.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

단계 16.1.1.5.7

피제수 $7 k^{2}$ 의 고차항을 제수 $k$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

단계 16.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

단계 16.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 k^{2} + 7 k$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

단계 16.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

단계 16.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

단계 16.1.1.5.12

피제수 $6 k$ 의 고차항을 제수 $k$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

단계 16.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

단계 16.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 k + 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

단계 16.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

단계 16.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

단계 16.1.1.6

$2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

단계 16.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ 이고 합이 $b = 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.1.1.1

$7 k$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

단계 16.1.2.1.1.2

$7$ 를 $3$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

단계 16.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

단계 16.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

단계 16.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

단계 16.1.2.1.3

최대공약수 $2 k + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

단계 16.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

단계 16.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$