유한 수학 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

단계 1

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 = x$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 - x = 0$

단계 3.4

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

단계 3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

단계 3.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

단계 3.4.2.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 6 y + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

단계 3.4.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 6 y - 2 + 2 (- x) = 0$

단계 3.4.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 6 y - 2 - 2 x = 0$

단계 3.4.3

$- 2$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - 6 y - 2 x - 2 = 0$

단계 3.4.4

$- 6 y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - 2 x - 6 y - 2 = 0$

단계 3.5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.6

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = - 2 x - 2$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.6

$36$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.7

$8 x + 44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.7.1

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.7.2

$44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.7.3

$4 (2 x) + 4 (11)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

단계 3.7.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

단계 3.8

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.4

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.5

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.6

$36$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.7

$8 x + 44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.7.1

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.7.2

$44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.7.3

$4 (2 x) + 4 (11)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

단계 3.8.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

단계 3.8.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

단계 3.9

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.4

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.5

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.6

$36$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.7

$8 x + 44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1.7.1

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.7.2

$44$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.7.3

$4 (2 x) + 4 (11)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

단계 3.9.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

단계 3.9.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

단계 3.10

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ 가 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 및 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

단계 5.3

$3 + \sqrt{2 x + 11}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2 x + 11}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 x + 11 \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

부등식의 양변에서 $11$ 를 뺍니다.

$2 x \geq - 11$

단계 5.3.2.2

$2 x \geq - 11$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$2 x \geq - 11$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

단계 5.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{- 11}{2}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x \geq - \frac{11}{2}$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ 의 정의역이 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ 의 치역이 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ 은 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

단계 6