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유한 수학 예제
f(x)=x2-1x-1f(x)=x2−1x−1
단계 1
f(x)=x2-1x-1f(x)=x2−1x−1을(를) 방정식으로 씁니다.
y=x2-1x-1y=x2−1x−1
단계 2
변수를 서로 바꿉니다.
x=y2-1y-1x=y2−1y−1
단계 3
단계 3.1
y2-1y-1=xy2−1y−1=x 로 방정식을 다시 씁니다.
y2-1y-1=xy2−1y−1=x
단계 3.2
각 항을 인수분해합니다.
단계 3.2.1
11을 1212로 바꿔 씁니다.
y2-12y-1=xy2−12y−1=x
단계 3.2.2
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 a2-b2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b) 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 a=ya=y 이고 b=1b=1 입니다.
(y+1)(y-1)y-1=x(y+1)(y−1)y−1=x
단계 3.2.3
공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.
단계 3.2.3.1
공약수를 소거하여 수식 (y+1)(y-1)y-1(y+1)(y−1)y−1을 간단히 정리합니다.
단계 3.2.3.1.1
공약수로 약분합니다.
(y+1)(y-1)y-1=x(y+1)(y−1)y−1=x
단계 3.2.3.1.2
수식을 다시 씁니다.
y+11=xy+11=x
y+11=xy+11=x
단계 3.2.3.2
y+1y+1을 11로 나눕니다.
y+1=xy+1=x
y+1=xy+1=x
y+1=xy+1=x
단계 3.3
방정식의 양변에서 11를 뺍니다.
y=x-1y=x−1
y=x-1y=x−1
단계 4
Replace yy with f-1(x)f−1(x) to show the final answer.
f-1(x)=x-1f−1(x)=x−1
단계 5
단계 5.1
역함수를 증명하려면 f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x 및 f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x인지 확인합니다.
단계 5.2
f-1(f(x))f−1(f(x))의 값을 구합니다.
단계 5.2.1
합성함수식을 세웁니다.
f-1(f(x))f−1(f(x))
단계 5.2.2
ff 값을 f-1f−1 에 대입하여 f-1(x2-1x-1)f−1(x2−1x−1) 값을 계산합니다.
f-1(x2-1x-1)=(x2-1x-1)-1f−1(x2−1x−1)=(x2−1x−1)−1
단계 5.2.3
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.2.3.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.2.3.1.1
11을 1212로 바꿔 씁니다.
f-1(x2-1x-1)=x2-12x-1-1f−1(x2−1x−1)=x2−12x−1−1
단계 5.2.3.1.2
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 a2-b2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b) 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 a=xa=x 이고 b=1b=1 입니다.
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f−1(x2−1x−1)=(x+1)(x−1)x−1−1
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f−1(x2−1x−1)=(x+1)(x−1)x−1−1
단계 5.2.3.2
x-1x−1의 공약수로 약분합니다.
단계 5.2.3.2.1
공약수로 약분합니다.
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f−1(x2−1x−1)=(x+1)(x−1)x−1−1
단계 5.2.3.2.2
x+1x+1을 11로 나눕니다.
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f−1(x2−1x−1)=x+1−1
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f−1(x2−1x−1)=x+1−1
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f−1(x2−1x−1)=x+1−1
단계 5.2.4
x+1-1x+1−1의 반대 항을 묶습니다.
단계 5.2.4.1
11에서 11을 뺍니다.
f-1(x2-1x-1)=x+0f−1(x2−1x−1)=x+0
단계 5.2.4.2
xx를 00에 더합니다.
f-1(x2-1x-1)=xf−1(x2−1x−1)=x
f-1(x2-1x-1)=xf−1(x2−1x−1)=x
f-1(x2-1x-1)=xf−1(x2−1x−1)=x
단계 5.3
f(f-1(x))f(f−1(x))의 값을 구합니다.
단계 5.3.1
합성함수식을 세웁니다.
f(f-1(x))f(f−1(x))
단계 5.3.2
f-1f−1 값을 ff 에 대입하여 f(x-1)f(x−1) 값을 계산합니다.
f(x-1)=(x-1)2-1(x-1)-1f(x−1)=(x−1)2−1(x−1)−1
단계 5.3.3
분자를 간단히 합니다.
단계 5.3.3.1
11을 1212로 바꿔 씁니다.
f(x-1)=(x-1)2-12x-1-1f(x−1)=(x−1)2−12x−1−1
단계 5.3.3.2
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 a2-b2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b) 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 a=x-1a=x−1 이고 b=1b=1 입니다.
f(x-1)=(x-1+1)(x-1-1)x-1-1f(x−1)=(x−1+1)(x−1−1)x−1−1
단계 5.3.3.3
간단히 합니다.
단계 5.3.3.3.1
-1−1를 11에 더합니다.
f(x-1)=(x+0)(x-1-1)x-1-1f(x−1)=(x+0)(x−1−1)x−1−1
단계 5.3.3.3.2
xx를 00에 더합니다.
f(x-1)=x(x-1-1)x-1-1f(x−1)=x(x−1−1)x−1−1
단계 5.3.3.3.3
-1−1에서 11을 뺍니다.
f(x-1)=x(x-2)x-1-1f(x−1)=x(x−2)x−1−1
f(x-1)=x(x-2)x-1-1f(x−1)=x(x−2)x−1−1
f(x-1)=x(x-2)x-1-1f(x−1)=x(x−2)x−1−1
단계 5.3.4
공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.
단계 5.3.4.1
-1−1에서 11을 뺍니다.
f(x-1)=x(x-2)x-2f(x−1)=x(x−2)x−2
단계 5.3.4.2
x-2x−2의 공약수로 약분합니다.
단계 5.3.4.2.1
공약수로 약분합니다.
f(x-1)=x(x-2)x-2f(x−1)=x(x−2)x−2
단계 5.3.4.2.2
xx을 11로 나눕니다.
f(x-1)=xf(x−1)=x
f(x-1)=xf(x−1)=x
f(x-1)=xf(x−1)=x
f(x-1)=xf(x−1)=x
단계 5.4
f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x 및 f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x이므로, f-1(x)=x-1f−1(x)=x−1은 f(x)=x2-1x-1f(x)=x2−1x−1의 역함수입니다.
f-1(x)=x-1f−1(x)=x−1
f-1(x)=x-1f−1(x)=x−1