유한 수학 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

단계 1

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

단계 3.2

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

단계 3.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

단계 3.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

단계 3.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y + 1}{1} = x$

단계 3.2.3.2

$y + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + 1 = x$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = x - 1$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x - 1$ 가 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

단계 5.2.3.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

단계 5.2.3.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

단계 5.2.3.2.2

$x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

단계 5.2.4

$x + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x - 1)$ 값을 계산합니다.

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

단계 5.3.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x - 1$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

단계 5.3.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

단계 5.3.3.3.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

단계 5.3.3.3.3

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

단계 5.3.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

단계 5.3.4.2

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

단계 5.3.4.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x - 1) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x - 1$ 은 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x - 1$