유한 수학 예제

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$

단계 1

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 3 x^{2} + 18 x + 23$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3 y^{2} + 18 y + 23$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 y^{2} + 18 y + 23 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 y^{2} + 18 y + 23 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} + 18 y + 23 - x = 0$

단계 3.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = 18$ , $c = 23 - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (23 - x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$18$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 23 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.4

$- 12$ 에 $23$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.5

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.6

$324$ 에서 $276$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{48 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.7

$48 + 12 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.7.1

$48$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 \cdot 4 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.7.2

$12 \cdot 4 + 12 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.8

$12 (4 + x)$ 을 $2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.8.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.8.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.8.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$

단계 3.5.3

$\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$18$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 23 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.4

$- 12$ 에 $23$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.5

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.6

$324$ 에서 $276$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{48 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.7

$48 + 12 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.7.1

$48$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 \cdot 4 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.7.2

$12 \cdot 4 + 12 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.8

$12 (4 + x)$ 을 $2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.8.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.8.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.8.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$

단계 3.6.3

$\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.6.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{- 9 + \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.6.5

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 \cdot 9 + \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.6.6

$\sqrt{3 (4 + x)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{3 (4 + x)})}{3}$

단계 3.6.7

$- 1 (9) - 1 (- \sqrt{3 (4 + x)})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 1 (9 - \sqrt{3 (4 + x)})}{3}$

단계 3.6.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$18$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 23 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.4

$- 12$ 에 $23$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.5

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.6

$324$ 에서 $276$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{48 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.7

$48 + 12 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.7.1

$48$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 \cdot 4 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.7.2

$12 \cdot 4 + 12 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.8

$12 (4 + x)$ 을 $2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.8.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.8.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.8.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$

단계 3.7.3

$\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.7.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{- 9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

단계 3.7.5

$- 9 - \sqrt{3 (4 + x)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.1

$4$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{- 9 - \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

단계 3.7.5.2

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

단계 3.7.5.3

$- \sqrt{3 (x + 4)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - (\sqrt{3 (x + 4)})}{3}$

단계 3.7.5.4

$- 1 (9) - (\sqrt{3 (x + 4)})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 1 (9 + \sqrt{3 (x + 4)})}{3}$

단계 3.7.5.5

$- 1 (9 + \sqrt{3 (x + 4)})$ 을 $- (9 + \sqrt{3 (x + 4)})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- (9 + \sqrt{3 (x + 4)})}{3}$

단계 3.7.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

단계 3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ 가 $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 및 $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 4, \infty)$

단계 5.3

$- \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{3 (4 + x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$3 (4 + x) \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$3 (4 + x) \geq 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$3 (4 + x) \geq 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 (4 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

단계 5.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

단계 5.3.2.1.2.1.2

$4 + x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 + x \geq \frac{0}{3}$

단계 5.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$4 + x \geq 0$

단계 5.3.2.2

부등식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x \geq - 4$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- 4, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ 의 정의역이 $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ 의 치역이 $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ 은 $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

단계 6