유한 수학 예제

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

단계 1

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = - 5 y + 5 + y (4 y + 3)$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$

단계 3.2

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 y + 5 + y (4 y) + y \cdot 3 = x$

단계 3.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + y \cdot 3 = x$

단계 3.2.1.3

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + 3 \cdot y = x$

단계 3.2.1.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$- 5 y + 5 + 4 (y \cdot y) + 3 \cdot y = x$

단계 3.2.1.4.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 \cdot y = x$

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 y = x$

단계 3.2.2

$- 5 y$ 를 $3 y$ 에 더합니다.

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} = x$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} - x = 0$

단계 3.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.5

이차함수의 근의 공식에 $a = 4$ , $b = - 2$ , $c = 5 - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.4

$- 16$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.5

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.6

$4$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.7

$- 76 + 16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.7.1

$- 76$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.7.2

$16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.7.3

$4 (- 19) + 4 (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.8

$4 (- 19 + 4 x)$ 을 $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

단계 3.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 3.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.4

$- 16$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.5

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.6

$4$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.7

$- 76 + 16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.7.1

$- 76$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.7.2

$16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.7.3

$4 (- 19) + 4 (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.8

$4 (- 19 + 4 x)$ 을 $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

단계 3.7.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 3.7.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 3.8

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.4

$- 16$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.5

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.6

$4$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.7

$- 76 + 16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.7.1

$- 76$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.7.2

$16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.7.3

$4 (- 19) + 4 (4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.8

$4 (- 19 + 4 x)$ 을 $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

단계 3.8.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 3.8.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 3.9

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ 가 $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[\frac{19}{4}, \infty)$

단계 5.3

$\frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{- 19 + 4 x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$- 19 + 4 x \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

부등식 양변에 $19$ 를 더합니다.

$4 x \geq 19$

단계 5.3.2.2

$4 x \geq 19$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$4 x \geq 19$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

단계 5.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{19}{4}$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[\frac{19}{4}, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ 의 정의역이 $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ 의 치역이 $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ 은 $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

단계 6