유한 수학 예제

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$

단계 1

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = - 16 t^{2} + 32 t$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$t = - 16 y^{2} + 32 y$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 16 y^{2} + 32 y = t$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 16 y^{2} + 32 y = t$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $t$ 를 뺍니다.

$- 16 y^{2} + 32 y - t = 0$

단계 3.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.4

이차함수의 근의 공식에 $a = - 16$ , $b = 32$ , $c = - t$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 16 \cdot (- t))}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.2

$- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.2.1

$- 4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.2.2

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.3

$1024 - 64 t$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.3.1

$1024$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.3.2

$- 64 t$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.3.3

$64 (16) + 64 (- t)$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.4

$64 (16 - t)$ 을 $8^{2} (4^{2} - t)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.4.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.1.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

단계 3.5.3

$\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 3.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.2

$- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.2.1

$- 4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.2.2

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.3

$1024 - 64 t$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.3.1

$1024$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.3.2

$- 64 t$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.3.3

$64 (16) + 64 (- t)$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.4

$64 (16 - t)$ 을 $8^{2} (4^{2} - t)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.4.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.1.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

단계 3.6.3

$\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 3.6.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 3.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.2

$- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.2.1

$- 4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.2.2

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.3

$1024 - 64 t$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.3.1

$1024$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.3.2

$- 64 t$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.3.3

$64 (16) + 64 (- t)$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.4

$64 (16 - t)$ 을 $8^{2} (4^{2} - t)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.4.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.1.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

단계 3.7.3

$\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 3.7.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 5

증명하려면 $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ 가 $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 및 $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 16]$

단계 5.3

$\frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{16 - t}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$16 - t \geq 0$

단계 5.3.2

$t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

부등식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$- t \geq - 16$

단계 5.3.2.2

$- t \geq - 16$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- t \geq - 16$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2.2

$t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t \leq \frac{- 16}{- 1}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

$- 16$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$t \leq 16$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $t$ 값입니다.

$(- \infty, 16]$

단계 5.4

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ 의 정의역이 $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 의 치역이고 $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ 의 치역이 $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 의 정의역이므로 $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ 은 $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ 의 역함수입니다.

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

단계 6