유한 수학 예제

$P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$

단계 1

$P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = - x^{2} + 90 x - 2000$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = - y^{2} + 90 y - 2000$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- y^{2} + 90 y - 2000 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y^{2} + 90 y - 2000 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$- y^{2} + 90 y - 2000 - x = 0$

단계 3.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.4

이차함수의 근의 공식에 $a = - 1$ , $b = 90$ , $c = - 2000 - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 90 \pm \sqrt{90^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 2000 - x))}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$90$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.4

$4$ 에 $- 2000$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.6

$8100$ 에서 $8000$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.7

$100 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.7.1

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.7.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.7.3

$4 (25) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.8

$4 (25 - x)$ 을 $2^{2} (5^{2} - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.8.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.1.10

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

단계 3.5.3

$\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

단계 3.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$90$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.4

$4$ 에 $- 2000$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.6

$8100$ 에서 $8000$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.7

$100 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.7.1

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.7.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.7.3

$4 (25) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.8

$4 (25 - x)$ 을 $2^{2} (5^{2} - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.8.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.1.10

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

단계 3.6.3

$\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

단계 3.6.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

단계 3.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$90$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.4

$4$ 에 $- 2000$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.6

$8100$ 에서 $8000$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.7

$100 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.7.1

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.7.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.7.3

$4 (25) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.8

$4 (25 - x)$ 을 $2^{2} (5^{2} - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.8.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.1.10

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

단계 3.7.3

$\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

단계 3.7.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

단계 3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

단계 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$

단계 5

증명하려면 $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ 가 $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 및 $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 25]$

단계 5.3

$45 + \sqrt{25 - x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{25 - x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$25 - x \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

부등식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 25$

단계 5.3.2.2

$- x \geq - 25$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- x \geq - 25$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 25}{- 1}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

$- 25$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 25$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 25]$

단계 5.4

$P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ 의 정의역이 $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 의 치역이고 $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ 의 치역이 $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 의 정의역이므로 $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ 은 $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ 의 역함수입니다.

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$

단계 6