유한 수학 예제

$f (x) = x (- 4 x + 180)$

단계 1

$f (x) = x (- 4 x + 180)$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = x (- 4 x + 180)$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y (- 4 y + 180)$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y (- 4 y + 180) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y (- 4 y + 180) = x$

단계 3.2

$y (- 4 y + 180)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (- 4 y) + y \cdot 180 = x$

단계 3.2.1.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 4 y \cdot y + y \cdot 180 = x$

단계 3.2.1.2.2

$y$ 의 왼쪽으로 $180$ 이동하기

$- 4 y \cdot y + 180 \cdot y = x$

단계 3.2.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$- 4 (y \cdot y) + 180 \cdot y = x$

단계 3.2.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$- 4 y^{2} + 180 \cdot y = x$

$- 4 y^{2} + 180 y = x$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$- 4 y^{2} + 180 y - x = 0$

단계 3.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.5

이차함수의 근의 공식에 $a = - 4$ , $b = 180$ , $c = - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 180 \pm \sqrt{180^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$180$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.2.1

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.2.2

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.3

$32400 - 16 x$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.3.1

$32400$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.3.2

$- 16 x$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.3.3

$16 (2025) + 16 (- x)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.4

$16 (2025 - x)$ 을 ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.4.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.1.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

단계 3.6.3

$\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 3.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$180$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.2.1

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.2.2

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.3

$32400 - 16 x$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.3.1

$32400$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.3.2

$- 16 x$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.3.3

$16 (2025) + 16 (- x)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.4

$16 (2025 - x)$ 을 ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.4.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.1.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

단계 3.7.3

$\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 3.7.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 3.8

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.1

$180$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.2.1

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.2.2

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.3

$32400 - 16 x$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.3.1

$32400$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.3.2

$- 16 x$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.3.3

$16 (2025) + 16 (- x)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.4

$16 (2025 - x)$ 을 ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.4.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.1.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

단계 3.8.3

$\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 3.8.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 3.9

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ 가 $f (x) = x (- 4 x + 180)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = x (- 4 x + 180)$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = x (- 4 x + 180)$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2025]$

단계 5.3

$\frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2025 - x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2025 - x \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

부등식의 양변에서 $2025$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 2025$

단계 5.3.2.2

$- x \geq - 2025$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- x \geq - 2025$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 2025}{- 1}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

$- 2025$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 2025$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 2025]$

단계 5.4

$f (x) = x (- 4 x + 180)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ 의 정의역이 $f (x) = x (- 4 x + 180)$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ 의 치역이 $f (x) = x (- 4 x + 180)$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ 은 $f (x) = x (- 4 x + 180)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

단계 6