유한 수학 예제

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

단계 1

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

단계 3.2

$\sqrt{e^{y} + 1}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$\sin (u) = x$

단계 3.3

사인 안의 $u$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$u = \arcsin (x)$

단계 3.4

$u$ 에 $\sqrt{e^{y} + 1}$ 을 대입하고 $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$ 를 풉니다.

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단계 3.4.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

단계 3.4.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e^{y} + 1}$ 을(를) ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

단계 3.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.1

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.1.1

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.4.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

단계 3.4.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

단계 3.4.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

단계 3.4.2.2.1.2

간단히 합니다.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

단계 3.4.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

단계 3.4.3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

단계 3.4.3.3

왼편을 확장합니다.

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단계 3.4.3.3.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

단계 3.4.3.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

단계 3.4.3.3.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ 가 $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

단계 5.3.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

단계 5.3.4

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

단계 5.3.5

${\arcsin (x)}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

단계 5.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

단계 5.3.7

함수 사인과 아크사인은 역함수입니다.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ 은 $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$