유한 수학 예제

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

단계 1

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식에 $y^{2} - 64$ 을 곱합니다.

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

단계 3.3.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 8$ 입니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

단계 3.3.1.2

$\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ 에 $y^{2} - 64$ 을 곱합니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

단계 3.3.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

단계 3.3.1.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 8$ 입니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

단계 3.3.1.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$y + 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

단계 3.3.1.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

단계 3.3.1.4.2

$y - 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

단계 3.3.1.4.2.2

$8 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $8 y$ 를 뺍니다.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

단계 3.4.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.4.3

이차함수의 근의 공식에 $a = x$ , $b = - 8$ , $c = - 64 x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

단계 3.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.4

$- 4$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.5

$64 + 256 x^{2}$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.5.1

$64$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.5.2

$256 x^{2}$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.5.3

$64 (1) + 64 (4 x^{2})$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ 을 $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.6.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.4.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.4.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.4

$- 4$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.5

$64 + 256 x^{2}$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.5.1

$64$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.5.2

$256 x^{2}$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.5.3

$64 (1) + 64 (4 x^{2})$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ 을 $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.6.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.5.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.5.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.5.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.5.4

$4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.4.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.5.4.2

$4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

단계 3.4.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.4

$- 4$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.5

$64 + 256 x^{2}$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.5.1

$64$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.5.2

$256 x^{2}$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.5.3

$64 (1) + 64 (4 x^{2})$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ 을 $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.6.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.6.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

단계 3.4.6.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.6.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.6.4

$4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.4.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

단계 3.4.6.4.2

$- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

단계 3.4.6.4.3

$4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

단계 3.4.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 가 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

단계 5.3

$\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$4 x^{2} \geq - 1$

단계 5.3.2.2

$4 x^{2} \geq - 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$4 x^{2} \geq - 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

단계 5.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

단계 5.3.2.3

좌변이 짝수의 지수를 가지므로 모든 실수에 대해 항상 양입니다.

모든 실수

단계 5.3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 5.3.4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5.4

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 의 정의역이 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 의 치역이 아니면 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 는 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 의 역함수가 아닙니다.

역함수가 없음

단계 6