유한 수학 예제

$2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \cdot 1 - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

단계 4.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

단계 4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 - 3 \cdot 1 + 3 (1) - 2$

단계 4.1.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 3 + 3 (1) - 2$

단계 4.1.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 3 + 3 - 2$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 1 + 3 - 2$

단계 4.2.2

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 - 2$

단계 4.2.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$

	$2$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(- 3)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$
	$2$	$- 1$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$
	$2$	$- 1$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(3)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$

단계 6.9

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(- 2)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$	$2$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$	$2$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 1) x + 2$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{3} - x^{2} - x + 2$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

단계 7.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

단계 7.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

단계 7.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

단계 7.1.3.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 - 1 \cdot 1 + 1 + 2$

단계 7.1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 - 1 + 1 + 2$

단계 7.1.3.6

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 3 + 1 + 2$

단계 7.1.3.7

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 + 2$

단계 7.1.3.8

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0$

단계 7.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - x + 2}{x + 1}$

단계 7.1.5

$2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

단계 7.1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$

단계 7.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 7.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 7.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

단계 7.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

단계 7.1.5.7

피제수 $- 3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

단계 7.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

단계 7.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{2} - 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

단계 7.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$

단계 7.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$

단계 7.1.5.12

피제수 $2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$

단계 7.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

단계 7.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

단계 7.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

단계 7.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{2} - 3 x + 2$

단계 7.1.6

$2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 1) (2 x^{2} - 3 x + 2) = 0$

단계 7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

단계 7.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7.4

$2 x^{2} - 3 x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2 x^{2} - 3 x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

단계 7.4.2

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 2$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.3.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.1.2.2

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.1.3

$9$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.1.4

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

단계 7.4.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.1.2.2

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.1.3

$9$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.1.4

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

단계 7.4.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

단계 7.4.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.5.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.1.2.2

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.1.3

$9$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.1.4

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

단계 7.4.2.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

단계 7.4.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

단계 7.4.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

단계 7.5

$(x + 1) (2 x^{2} - 3 x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x - 1) (x + 1) (x - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}) (x - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$

단계 9

다항식 $2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2$ 의 근(해)입니다.

$x = 1, - 1, \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

단계 10