유한 수학 예제

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

단계 4.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

단계 4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

단계 4.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

단계 4.1.5

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 4 - 16 + 16$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 - 16 + 16$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- 16 + 16$

단계 4.2.3

$- 16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

단계 6.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(4)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(- 16)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 16)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 16)$ 을 피제수 $(16)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 16$

단계 7

$4 x^{2} - 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

단계 7.2

$- 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

단계 7.3

$4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

단계 8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

단계 9

인수분해합니다.

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단계 9.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

단계 9.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

단계 10

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 10.1

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.1.1

$4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

단계 10.1.2

$- 4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

단계 10.1.3

$- 16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

단계 10.1.4

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

단계 10.1.5

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

단계 10.1.6

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

단계 10.1.7

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

단계 10.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 10.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

단계 10.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

단계 10.3

최대공약수 $x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

단계 10.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

단계 10.5

인수분해합니다.

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단계 10.5.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

단계 10.5.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 10.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 11

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 12

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 13

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 14

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 14.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 15

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2, 2$

단계 16