유한 수학 예제

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$0$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 0$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

단계 4.1.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

단계 4.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

단계 4.1.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 48 (0)$

단계 4.1.5

$48$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0$

단계 4.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0$

단계 4.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$0$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 0$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

단계 6.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

단계 6.3

제수 $(0)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(- 2)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

단계 6.5

제수 $(0)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 2)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(48)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

단계 6.7

제수 $(0)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(48)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

단계 7

$4 x^{2} - 2 x + 48$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

단계 7.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

단계 7.3

$48$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

단계 7.4

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

단계 7.5

$2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

단계 8

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1

$4 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

단계 8.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

단계 8.3

$48 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

단계 8.4

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

단계 8.5

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

단계 10

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 11

$2 x^{2} - x + 24$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$2 x^{2} - x + 24$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

단계 11.2

$2 x^{2} - x + 24 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 11.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = 24$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 24$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.1.2.2

$- 8$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.1.3

$1$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.1.4

$- 191$ 을 $- 1 (191)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

단계 11.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 24$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.1.2.2

$- 8$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.1.3

$1$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.1.4

$- 191$ 을 $- 1 (191)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

단계 11.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

단계 11.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 24$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.1.2.2

$- 8$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.1.3

$1$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.1.4

$- 191$ 을 $- 1 (191)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

단계 11.2.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

단계 11.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

단계 11.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

단계 12

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

단계 13