유한 수학 예제

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{1}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

단계 4.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

단계 4.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

단계 4.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

단계 4.1.8

$15$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$1$ 를 $15$ 에 더합니다.

$- 4 + \frac{16}{4}$

단계 4.2.2.2

$16$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$- 4 + 4$

단계 4.2.2.3

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{1}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

단계 6.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

단계 6.3

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

단계 6.5

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

단계 6.7

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(16)$ 을 곱하여 나온 값 $(8)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

단계 6.9

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(8)$ 을 곱하여 나온 값 $(4)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

단계 7

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

단계 7.2

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

단계 7.3

$16 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

단계 7.4

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

단계 7.5

$2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

단계 7.6

$2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

단계 7.7

$2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

단계 8

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

단계 8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

단계 9

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

최대공약수 $2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

단계 9.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

단계 10

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

단계 11

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ 이고 합이 $b = 15$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$15 u$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

단계 11.1.2

$15$ 를 $- 1$ + $16$ 로 다시 씁니다.

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

단계 11.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

단계 11.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

단계 11.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

단계 11.3

최대공약수 $4 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

단계 12

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

단계 13

$4 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$4 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 u - 1 = 0$

단계 13.2

$4 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$4 u = 1$

단계 13.2.2

$4 u = 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.1

$4 u = 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

단계 13.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

단계 13.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{4}$

단계 14

$u + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 4 = 0$

단계 14.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$u = - 4$

단계 15

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

단계 16

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

단계 17

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

단계 18

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

단계 18.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

단계 18.2.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

단계 18.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 18.2.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{1}{2}$

단계 18.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 18.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 18.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

단계 19

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = - 4$

단계 20

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = - 4$

단계 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

단계 20.3

$\pm \sqrt{- 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

단계 20.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

단계 20.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

단계 20.3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

단계 20.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 2$

단계 20.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm 2 i$

단계 20.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 i$

단계 20.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 i$

단계 20.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 i, - 2 i$

단계 21

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ 의 해는 $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ 입니다.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

단계 22