유한 수학 예제

$4 r^{2} + 20 r + 25$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $r = - \frac{5}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.1.1.1

$- \frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.1.2

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.4

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

단계 4.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.7.1

$- \frac{5}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

단계 4.1.7.2

$20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

단계 4.1.7.3

공약수로 약분합니다.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

단계 4.1.7.4

수식을 다시 씁니다.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

단계 4.1.8

$10$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$25 - 50 + 25$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$25$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$- 25 + 25$

단계 4.2.2

$- 25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- \frac{5}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $r + \frac{5}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

단계 6.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

단계 6.3

제수 $(- \frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 10)$ 을 피제수 $(20)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

단계 6.5

제수 $(- \frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(10)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 25)$ 을 피제수 $(25)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

단계 6.7

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$(4) r + 10$

단계 6.8

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 r + 10$

단계 7

$4 r + 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$4 r$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

단계 7.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

단계 7.3

$2 (2 r) + 2 (5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

단계 8

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 8.1

$4 r^{2}$ 을 ${(2 r)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

단계 8.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

단계 8.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

단계 8.4

다항식을 다시 씁니다.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

단계 8.5

$a = 2 r$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

단계 9

$2 r + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 r + 5 = 0$

단계 10

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$2 r = - 5$

단계 10.2

$2 r = - 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$2 r = - 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

단계 10.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 10.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

단계 10.2.2.1.2

$r$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = \frac{- 5}{2}$

단계 10.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 10.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = - \frac{5}{2}$

단계 11