유한 수학 예제

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

단계 1

$| x^{2} - 5 | < 4 x$ 을(를) 구간으로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x^{2} - 5 \geq 0$

단계 1.2

부등식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

부등식 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} \geq 5$

단계 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

단계 1.2.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | \geq \sqrt{5}$

단계 1.2.4

$| x | \geq \sqrt{5}$ 을(를) 구간으로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x \geq 0$

단계 1.2.4.2

$x$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x \geq \sqrt{5}$

단계 1.2.4.3

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x < 0$

단계 1.2.4.4

$x$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- x \geq \sqrt{5}$

단계 1.2.4.5

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

단계 1.2.5

$x \geq \sqrt{5}$ 와 $x \geq 0$ 의 교점을 구합니다.

$x \geq \sqrt{5}$

단계 1.2.6

$- x \geq \sqrt{5}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$- x \geq \sqrt{5}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

단계 1.2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

단계 1.2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

단계 1.2.6.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{5}$ 을 $- \sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \leq - \sqrt{5}$

단계 1.2.7

해의 합집합을 구합니다.

$x \leq - \sqrt{5}$ 또는 $x \geq \sqrt{5}$

단계 1.3

$x^{2} - 5$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x^{2} - 5 < 4 x$

단계 1.4

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x^{2} - 5 < 0$

단계 1.5

부등식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

부등식 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} < 5$

단계 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

단계 1.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | < \sqrt{5}$

단계 1.5.4

$| x | < \sqrt{5}$ 을(를) 구간으로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x \geq 0$

단계 1.5.4.2

$x$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x < \sqrt{5}$

단계 1.5.4.3

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x < 0$

단계 1.5.4.4

$x$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- x < \sqrt{5}$

단계 1.5.4.5

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

단계 1.5.5

$x < \sqrt{5}$ 와 $x \geq 0$ 의 교점을 구합니다.

$0 \leq x < \sqrt{5}$

단계 1.5.6

$x < 0$ 일 때 $- x < \sqrt{5}$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.6.1

$- x < \sqrt{5}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.6.1.1

$- x < \sqrt{5}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

단계 1.5.6.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.6.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

단계 1.5.6.1.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

단계 1.5.6.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.6.1.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

단계 1.5.6.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{5}$ 을 $- \sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x > - \sqrt{5}$

단계 1.5.6.2

$x > - \sqrt{5}$ 와 $x < 0$ 의 교점을 구합니다.

$- \sqrt{5} < x < 0$

단계 1.5.7

해의 합집합을 구합니다.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

단계 1.6

$x^{2} - 5$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

단계 1.7

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

단계 1.8

$- (x^{2} - 5) < 4 x$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

단계 1.8.2

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

단계 2

$x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ 일 때 $x^{2} - 5 < 4 x$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} - 5 < 4 x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

부등식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

단계 2.1.2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

단계 2.1.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 - 4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 5$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 5, 1$

단계 2.1.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

단계 2.1.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 2.1.5

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.1.5.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.1.6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.1.6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.1.7

$(x - 5) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 1$

단계 2.1.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

단계 2.1.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 2.1.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

단계 2.1.9.1.3

좌변 $11$ 이 우변 $- 16$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.1.9.2

$- 1 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.2.1

$- 1 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.1.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

단계 2.1.9.2.3

좌변 $- 5$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.1.9.3

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.3.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 2.1.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

단계 2.1.9.3.3

좌변 $59$ 이 우변 $32$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.1.9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

단계 2.1.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 < x < 5$

단계 2.2

$- 1 < x < 5$ 와 $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ 의 교점을 구합니다.

$\sqrt{5} \leq x < 5$

단계 3

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ 일 때 $- x^{2} + 5 < 4 x$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- x^{2} + 5 < 4 x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

부등식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

단계 3.1.2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

단계 3.1.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$- x^{2} + 5 - 4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$5$ 를 옮깁니다.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

단계 3.1.3.1.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

단계 3.1.3.1.3

$- 4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

단계 3.1.3.1.4

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

단계 3.1.3.1.5

$- (x^{2}) - (4 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

단계 3.1.3.1.6

$- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

단계 3.1.3.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 5$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 1, 5$

단계 3.1.3.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

단계 3.1.3.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

단계 3.1.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

단계 3.1.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.1.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3.1.6

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 3.1.6.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 3.1.7

$- (x - 1) (x + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 5$

단계 3.1.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

단계 3.1.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.9.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.9.1.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 3.1.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

단계 3.1.9.1.3

좌변 $- 59$ 이 우변 $- 32$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.1.9.2

$- 5 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.9.2.1

$- 5 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 3.1.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

단계 3.1.9.2.3

좌변 $5$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.1.9.3

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.9.3.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 3.1.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

단계 3.1.9.3.3

좌변 $- 11$ 이 우변 $16$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.1.9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < 1$ 거짓

$x > 1$ 참

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < 1$ 거짓

$x > 1$ 참

단계 3.1.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 5$ 또는 $x > 1$

단계 3.2

$x < - 5 or x > 1$ 와 $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ 의 교점을 구합니다.

$1 < x < \sqrt{5}$

단계 4

해의 합집합을 구합니다.

$1 < x < 5$

단계 5

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(1, 5)$

단계 6