유한 수학 예제

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

단계 1

부등식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$4 y, 3, 1, 1$

단계 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

단계 2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.4

$4$ 의 인수는 $2$ 와 $2$ 입니다.

$2 \cdot 2$

단계 2.5

$3$ 는 $1$ , $3$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$3$ 는 소수입니다

단계 2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.7

$4, 3, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

단계 2.8

$2 \cdot 2 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cdot 3$

단계 2.8.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12$

단계 2.9

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.10

$y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 2.11

$4 y, 3, 1, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $12$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$12 y$

단계 3

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ 의 각 항에 $12 y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ 의 각 항에 $12 y$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.2.2

$4 y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.3

$3$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.5.2

$12 y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.8

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.8.1

$y$ 를 옮깁니다.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.8.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

단계 3.2.1.9

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

단계 4

부등식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$y$ 을 포함하는 모든 항을 부등식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

부등식의 양변에서 $24 y$ 를 뺍니다.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

단계 4.1.2

$- 4 y$ 에서 $24 y$ 을 뺍니다.

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

단계 4.2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

단계 4.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.4

이차함수의 근의 공식에 $a = - 12$ , $b = - 28$ , $c = 3$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1.1

$- 28$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1.2.1

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.1.2.2

$48$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.1.3

$784$ 를 $144$ 에 더합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.1.4

$928$ 을 $4^{2} \cdot 58$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1.4.1

$928$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.5.2

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

단계 4.5.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

단계 4.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

단계 4.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.1

$- 28$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.2.1

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.1.2.2

$48$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.1.3

$784$ 를 $144$ 에 더합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.1.4

$928$ 을 $4^{2} \cdot 58$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.4.1

$928$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.6.2

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

단계 4.6.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

단계 4.6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

단계 4.6.5

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

단계 4.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.1

$- 28$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.2.1

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.1.2.2

$48$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.1.3

$784$ 를 $144$ 에 더합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.1.4

$928$ 을 $4^{2} \cdot 58$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.4.1

$928$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

단계 4.7.2

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

단계 4.7.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

단계 4.7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

단계 4.7.5

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

단계 4.8

해를 하나로 합합니다.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

단계 5

$\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{4 y}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$4 y = 0$

단계 5.2

$4 y = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 y = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{0}{4}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$y = 0$

단계 5.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $y$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

단계 7

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$y = - 5$

단계 7.1.2

원래 부등식에서 $y$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

단계 7.1.3

좌변 $- 0.38\overline{3}$ 이 우변 $- 3$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.2

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$y = - 1$

단계 7.2.2

원래 부등식에서 $y$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

단계 7.2.3

좌변 $- 0.58\overline{3}$ 이 우변 $1$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.3

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$y = 0.05$

단계 7.3.2

원래 부등식에서 $y$ 를 $0.05$ 로 치환합니다.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

단계 7.3.3

좌변 $4.\overline{6}$ 이 우변 $2.05$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.4

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$y = 3$

단계 7.4.2

원래 부등식에서 $y$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

단계 7.4.3

좌변 $- 0.25$ 이 우변 $5$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ 거짓

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 참

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 거짓

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 참

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ 거짓

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 참

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 거짓

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 참

단계 8

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 또는 $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

단계 9

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

단계 10