유한 수학 예제

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 > 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(25 x^{3} + 75 x^{2}) - 36 x - 108 = 0$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$25 x^{2} (x + 3) - 36 (x + 3) = 0$

단계 2.2

최대공약수 $x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 3) (25 x^{2} - 36) = 0$

단계 2.3

$25 x^{2}$ 을 ${(5 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 36) = 0$

단계 2.4

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 6^{2}) = 0$

단계 2.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5 x$ 이고 $b = 6$ 입니다.

$(x + 3) ((5 x + 6) (5 x - 6)) = 0$

단계 2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$5 x + 6 = 0$

$5 x - 6 = 0$

단계 4

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 5

$5 x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$5 x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x + 6 = 0$

단계 5.2

$5 x + 6 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$5 x = - 6$

단계 5.2.2

$5 x = - 6$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$5 x = - 6$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

단계 5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

단계 5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 6}{5}$

단계 5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{6}{5}$

단계 6

$5 x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$5 x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x - 6 = 0$

단계 6.2

$5 x - 6 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$5 x = 6$

단계 6.2.2

$5 x = 6$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$5 x = 6$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

단계 6.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{6}{5}$

단계 7

$(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, - \frac{6}{5}, \frac{6}{5}$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$

$x > \frac{6}{5}$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$25 {(- 6)}^{3} + 75 {(- 6)}^{2} - 36 \cdot - 6 - 108 > 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 2592$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.2

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$25 {(- 2)}^{3} + 75 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2 - 108 > 0$

단계 9.2.3

좌변 $64$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.3

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$25 {(0)}^{3} + 75 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 - 108 > 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 108$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.4

$x > \frac{6}{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$x > \frac{6}{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$25 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2} - 36 \cdot 4 - 108 > 0$

단계 9.4.3

좌변 $2548$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ 참

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ 거짓

$x > \frac{6}{5}$ 참

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ 참

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ 거짓

$x > \frac{6}{5}$ 참

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ 또는 $x > \frac{6}{5}$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 3, - \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}, \infty)$

단계 12