유한 수학 예제

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

$\sqrt{y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

FOIL 계산법을 이용하여 $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

분배 법칙을 적용합니다.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

분배 법칙을 적용합니다.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

지수를 더하여 $\sqrt{y}$ 에 $\sqrt{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt{y}$ 를 옮깁니다.

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$\sqrt{y}$ 에 $\sqrt{y}$ 을 곱합니다.

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$9$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$7$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

$27 \sqrt{y}$ 에서 $35 \sqrt{y}$ 을 뺍니다.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

이차함수의 근의 공식에 $a = 63$ , $b = - 8$ , $c = - 15 - x$ 을 대입하여 $\sqrt{y}$ 를 구합니다.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

$- 4$ 에 $63$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 252$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 1$ 에 $- 252$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$64$ 를 $3780$ 에 더합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$3844 + 252 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$3844$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$252 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961) + 4 (63 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961 + 63 x)$ 을 $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$961$ 을 $31^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$31$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$2$ 에 $63$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ 을 간단히 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

$- 4$ 에 $63$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 252$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 1$ 에 $- 252$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$64$ 를 $3780$ 에 더합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$3844 + 252 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$3844$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$252 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961) + 4 (63 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961 + 63 x)$ 을 $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$961$ 을 $31^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$31$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$2$ 에 $63$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ 을 간단히 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

$- 4$ 에 $63$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 252$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 1$ 에 $- 252$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$64$ 를 $3780$ 에 더합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$3844 + 252 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$3844$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$252 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961) + 4 (63 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961 + 63 x)$ 을 $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$961$ 을 $31^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$31$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$2$ 에 $63$ 을 곱합니다.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ 을 간단히 합니다.

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

간단히 합니다.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 가 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

$\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{961 + 63 x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$961 + 63 x \geq 0$

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

부등식의 양변에서 $961$ 를 뺍니다.

$63 x \geq - 961$

$63 x \geq - 961$ 의 각 항을 $63$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$63 x \geq - 961$ 의 각 항을 $63$ 로 나눕니다.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$63$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{- 961}{63}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x \geq - \frac{961}{63}$

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 의 정의역이 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 의 치역이 아니면 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 는 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 의 역함수가 아닙니다.

역함수가 없음

Step 6