유한 수학 예제

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{x}{33 + x}$ 를 뺍니다.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

단계 2

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 1}{2 - x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{33 + x}{33 + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{33 + x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 - x}{2 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(2 - x) (33 + x)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{x + 1}{2 - x}$ 에 $\frac{33 + x}{33 + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

단계 2.3.2

$\frac{x}{33 + x}$ 에 $\frac{2 - x}{2 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.3.3

$(33 + x) (2 - x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (33 + x)$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $33$ 이동하기

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.2.1.3

$33$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.2.2

$33 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.6.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.7

$34 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.8

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 2.5.9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

단계 4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = 32$ , $c = 33$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 33$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.2.2

$- 8$ 에 $33$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.3

$1024$ 에서 $264$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.4

$760$ 을 $2^{2} \cdot 190$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 6.1.4.1

$760$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

단계 6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

단계 6.3

$\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

단계 7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

단계 8

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 9

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 9.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 9.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 10

방정식의 양변에서 $33$ 를 뺍니다.

$x = - 33$

단계 11

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

단계 12

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

단계 13

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 13.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

단계 13.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

단계 13.2.2

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 13.2.2.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 13.2.2.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 13.2.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 13.2.2.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 13.2.2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.2.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 13.2.3

$33 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

$33 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$33 + x = 0$

단계 13.2.3.2

방정식의 양변에서 $33$ 를 뺍니다.

$x = - 33$

단계 13.2.4

$(2 - x) (33 + x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 33$

단계 13.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

단계 14

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

단계 15

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 15.1

$x < - 33$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 15.1.1

$x < - 33$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 36$

단계 15.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 36$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

단계 15.1.3

좌변 $- 0.92105263$ 이 우변 $12$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 15.2

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 17$

단계 15.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 17$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

단계 15.2.3

좌변 $- 0.84210526$ 이 우변 $- 1.0625$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 15.3

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 15.3.1

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 15.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

단계 15.3.3

좌변 $- 0.5$ 이 우변 $- 0.13793103$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 15.4

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 15.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

단계 15.4.3

좌변 $0.5$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 15.5

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 15.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

단계 15.5.3

좌변 $- 2.5$ 이 우변 $0.\overline{108}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 15.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 33$ 참

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ 거짓

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 참

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 33$ 참

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ 거짓

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 참

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 16

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 33$ 또는 $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 또는 $x > 2$

단계 17

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

구간 표기:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

단계 18