유한 수학 예제

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

단계 1

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

단계 3.2

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ 의 각 항을 $20000$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ 의 각 항을 $20000$ 로 나눕니다.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$20000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

단계 3.2.2.1.2

${1.02}^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

단계 3.4

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({1.02}^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

단계 3.5

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ 의 각 항을 $\ln (1.02)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ 의 각 항을 $\ln (1.02)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$\ln (1.02)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

단계 3.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

단계 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

단계 5

증명하려면 $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ 가 $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $P^{- 1} (P (t)) = t$ 및 $P (P^{- 1} (t)) = t$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$P^{- 1} (P (t))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$P^{- 1} (P (t))$

단계 5.2.2

$P$ 값을 $P^{- 1}$ 에 대입하여 $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ 값을 계산합니다.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

단계 5.2.3

$20000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

단계 5.2.3.2

${(1.02)}^{t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

단계 5.2.4

$t$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1.02)}^{t})$ 을 전개합니다.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

단계 5.2.5

$\ln (1.02)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

단계 5.2.5.2

$t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

단계 5.3

$P (P^{- 1} (t))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$P (P^{- 1} (t))$

단계 5.3.2

$P^{- 1}$ 값을 $P$ 에 대입하여 $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ 값을 계산합니다.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

단계 5.3.3

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

단계 5.3.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

단계 5.3.5

$20000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

단계 5.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

단계 5.4

$P^{- 1} (P (t)) = t$ 및 $P (P^{- 1} (t)) = t$ 이므로, $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ 은 $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ 의 역함수입니다.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$