유한 수학 예제

$\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.1.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50$ 이고 합이 $b = 23$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.1.1.2.1

$23 x^{2}$ 에서 $23$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.1.2.2

$23$ 를 $- 2$ + $25$ 로 다시 씁니다.

$\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.1.1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.1.4

최대공약수 $- x^{2} - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

단계 1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}$

단계 1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

단계 1.2.2

최대공약수 $x - 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

단계 2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}$

단계 2.2

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}$

단계 2.3

$- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

단계 5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.1

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ 에 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

단계 5.2

$\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ 에 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

단계 5.3

$(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

단계 5.4

$(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1

$6 \cdot - 1$ 와 $- 3 (x + 5)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 7.1.2

$6 \cdot - 1$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 7.1.3

$- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 7.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 7.3

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 8

항을 간단히 합니다.

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단계 8.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}$

단계 8.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 8.3

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}$

단계 8.4

$- (x^{2}) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 8.5

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 8.5.1

$- (x^{2} + 2)$ 을 $- 1 (x^{2} + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

단계 8.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$