유한 수학 예제

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

단계 1

부등식 양변에 $\frac{10}{x - 3}$ 를 더합니다.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

단계 2

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} - 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

단계 2.1.2

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

단계 2.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{10}{x - 3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x - 3)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{10}{x - 3}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.3.2

$(x - 3) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.5

$14 + 10 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.1

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.5.2

$10 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.5.3

$2 (7) + 2 (5 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{8}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

단계 2.7

$\frac{8}{x}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.9.1.1

$- 8 (x - 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.9.1.2

$2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.9.3

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.9.4

$7$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

단계 2.9.5

$5 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $19$ 를 뺍니다.

$x = - 19$

단계 5

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

단계 7

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, - 19, 3$

단계 8

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x (x - 3) = 0$

단계 8.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 3 = 0$

단계 8.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 8.2.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 8.2.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 8.2.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 8.2.4

$x (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3$

단계 8.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 10.1

$x < - 19$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.1.1

$x < - 19$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 22$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 22$ 로 치환합니다.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

단계 10.1.3

좌변 $0.38\overline{90}$ 이 우변 $0.4$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.2

$- 19 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.2.1

$- 19 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

단계 10.2.3

좌변 $5.4$ 가 우변 $2$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.3

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.3.1

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

단계 10.3.3

좌변 $- 11$ 이 우변 $10$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

단계 10.4.3

좌변 $- 0.\overline{5}$ 가 우변 $- 3.\overline{3}$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 19$ 거짓

$- 19 < x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 19$ 거짓

$- 19 < x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 19 < x < 0$ 또는 $x > 3$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 19 < x < 0 or x > 3$

구간 표기:

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

단계 13