유한 수학 예제

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

단계 1

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

단계 3

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{4 - x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$4 - x \geq 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

부등식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 4$

단계 4.2

$- x \geq - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- x \geq - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 4$

단계 5

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

단계 6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 6.2

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 6.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 6.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6.4

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3$

단계 6.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

단계 6.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 6.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

단계 6.6.1.3

좌변 $27$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.6.2

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 6.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

단계 6.6.2.3

좌변 $- 9$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 6.6.3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.3.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 6.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

단계 6.6.3.3

좌변 $27$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 6.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 3$ 또는 $x \geq 3$

단계 7

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

조건제시법:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

단계 8

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

해 없음

단계 9

정의역과 치역을 구합니다.

해 없음

단계 10