유한 수학 예제

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

단계 1

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

9

$9$ 을

3^{2}

$3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때

a = x

$a = x$ 이고

b = 3

$b = 3$ 입니다.

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

단계 3

식이 정의된 지점을 알아내려면

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ 의 피개법수를

0

$0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

단계 4

x

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

부등식의 양변에서

4

$4$ 를 뺍니다.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

단계 4.2

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ 의 각 항을

- 1

$- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ 의 각 항을

- 1

$- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.2.2

x

$x$ 을

1

$1$ 로 나눕니다.

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

- 4

$- 4$ 을

- 1

$- 1$ 로 나눕니다.

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

단계 5

식이 정의된 지점을 알아내려면

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 의 피개법수를

0

$0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

단계 6

x

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식 좌변의 한 인수가

0

$0$ 이면 전체 식은

0

$0$ 이 됩니다.

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

단계 6.2

x + 3

$x + 3$ 이

0

$0$ 가 되도록 하고

x

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

x + 3

$x + 3$ 를

0

$0$ 와 같다고 둡니다.

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

단계 6.2.2

방정식의 양변에서

3

$3$ 를 뺍니다.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

단계 6.3

x - 3

$x - 3$ 이

0

$0$ 가 되도록 하고

x

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

x - 3

$x - 3$ 를

0

$0$ 와 같다고 둡니다.

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

단계 6.3.2

방정식의 양변에

3

$3$ 를 더합니다.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

단계 6.4

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

단계 6.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

단계 6.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

x < - 3

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1.1

x < - 3

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

x = - 6

$x = - 6$

단계 6.6.1.2

원래 부등식에서

x

$x$ 를

- 6

$- 6$ 로 치환합니다.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

단계 6.6.1.3

좌변

27

$27$ 가 우변

0

$0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.6.2

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

x = 0

$x = 0$

단계 6.6.2.2

원래 부등식에서

x

$x$ 를

0

$0$ 로 치환합니다.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

단계 6.6.2.3

좌변

- 9

$- 9$ 이 우변

0

$0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 6.6.3

x > 3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.3.1

x > 3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

x = 6

$x = 6$

단계 6.6.3.2

원래 부등식에서

x

$x$ 를

6

$6$ 로 치환합니다.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

단계 6.6.3.3

좌변

27

$27$ 가 우변

0

$0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

x < - 3

$x < - 3$ 참

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ 거짓

x > 3

$x > 3$ 참

x < - 3

$x < - 3$ 참

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ 거짓

x > 3

$x > 3$ 참

단계 6.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ 또는

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ 또는

x \geq 3

$x \geq 3$

단계 7

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한

x

$x$ 값입니다.

구간 표기:

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

조건제시법:

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

단계 8

치역은 모든 유효한

y

$y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

해 없음

단계 9

정의역과 치역을 구합니다.

해 없음

단계 10