유한 수학 예제

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

단계 1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = x^{2} + 4 x - 73$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.2

$x^{2} + 4 x - 73$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.3

$- 4$ 에서 $73$ 을 뺍니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 77$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 77$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 7, 11$

단계 3.1.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.5

$- 4 (x - 7) (x + 11)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.5.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.5.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

단계 3.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

단계 4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$x^{2} + 4 x - 73$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

$- 4$ 에서 $73$ 을 뺍니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 77$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 77$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 7, 11$

단계 4.1.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5

$- 4 (x - 7) (x + 11)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

단계 4.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

단계 4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

단계 5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.2

$x^{2} + 4 x - 73$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.3

$- 4$ 에서 $73$ 을 뺍니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 77$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 77$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 7, 11$

단계 5.1.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.5

$- 4 (x - 7) (x + 11)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.5.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.5.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

단계 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

단계 5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

단계 6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

단계 8.2

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 8.3

$x + 11$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x + 11$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 11 = 0$

단계 8.3.2

방정식의 양변에서 $11$ 를 뺍니다.

$x = - 11$

단계 8.4

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, - 11$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x < - 11$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1.1

$x < - 11$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 14$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 14$ 로 치환합니다.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $- 63$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.2

$- 11 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

$- 11 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $77$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.3

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $- 63$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 11$ 거짓

$- 11 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

$x < - 11$ 거짓

$- 11 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 11 \leq x \leq 7$

단계 9

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 11, 7]$

조건제시법:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

단계 10

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 7, 11]$

조건제시법:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

단계 11

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

치역: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

단계 12